オメガとオメガインフィニティのバリエーション

一部の著者は定義します $\Omega$ 少し違う方法で：使ってみましょう $\overset{\infty}{\Omega}$ （「オメガインフィニティ」をお読みください）。と言う$f(n) = \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ 正の定数が存在する場合 $c$ そのような $f(n) \geq c\cdot g(n) \geq 0$ 無限に多くの整数 $n$、通常の $\Omega$ これは、一定以上のすべての整数に当てはまる必要があります $n_0$。

2つの関数についてそれを示す $f(n)$ そして $g(n)$ 漸近的に非負であるか $f(n) = O(g(n))$ または $f(n)= \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ または両方ですが、これは、 $\Omega$ 代わりに $\overset{\infty}{\Omega}$。

私はアルゴリズムを学ぼうとしています。しかし、これを証明することはできません。専門家は私を助けてくれますか？

ヒント： $f(n) \notin \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ そして $g(n)$ 漸近的に非負であり、すべての正の定数に対して $c$、 $f(n) \leq c \cdot g(n)$ 十分に大きい $n$。これは条件を無視することによって続きます$c \cdot g(n) \geq 0$ との定義を否定する $f(n) \in \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$。実際、このようにすると、次のいずれかの強力な結果が得られます。$f(n) \in \overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ または $f(n) \in o(g(n))$ （両方ではない）。

さらにヒント：「の否定を示すことから始めることができます$P(n)$ 無限に多くの $n$「は」$\lnot P(n)$ 十分に大きい $n$」

あなたがよりよく理解できるように私はあなたに例をあげることができます $\overset{\infty}{\Omega}(g(n))$。二項ヒープを想像してみてください。挿入操作は$O(logN)$、しかしそれは ${\Omega}(logN)$？

4-3-2-1-0のツリーランクがあり、ランク0のツリーを挿入すると、 ${\Omega}(logN)$操作。ただし、前の操作の結果のヒープ（ツリーランクが5のヒープ）にランク0のツリーを挿入すると、$O(1)$ ポインタのみを追加する必要があり、追加のマージ作業は必要ないため。

これは、 ${\Omega}$ そして $\overset{\infty}{\Omega}$。たとえば、二項ヒープ挿入操作は$\overset{\infty}{\Omega}(logN)$ セットの $n = \{{1,3,7,...,2^k - 1}\}$。それはそのことを述べていない$n \geq n_0$ 複雑さは ${\Omega}(logN)$ むしろ、いくつかの無限のnの集合ではあるが、すべてではない $n \geq n_0$