の定義

私は第3版のCLRSアルゴリズムのテキストを扱っています。第3章では、次で始まる漸近表記について議論を始めます。 $\Theta$表記。私は最初の定義を理解しました：

しかし、次のページのテキストには次のように書かれています：

の定義 $\Theta(g(n))$ すべてのメンバーが $f(n) \in \Theta(g(n))$ 漸近的に負でない、つまり $f(n)$ いつでも負にならない $n$十分に大きいです。（漸近的に正の関数とは、十分に大きなすべてに対して正の関数です$n$。）したがって、関数g（n）自体は漸近的に非負でなければならず、そうでなければセット $\Theta(g(n))$ 空です。

関数が負である場合のセットについての最後の部分 $\Theta(g(n))$は空であり、正の関数の一般的な要件は混乱を招くようなものです。誰かが私にとってこの定義を明確にでき、それが何を意味するのか、例を挙げて可能であれば、それは大いに評価されます。

これは単なる技術です。漸近分析では、次のような正の関数にのみ「本当に」関心があります。$n^3$ または $n\log n$。ただし、非常に形式的で一般的なものにしたい場合は、正でない関数を考慮に入れることができます（これにより、関数が有用になる可能性があります。以下を参照してください）。の定義$\Theta$ と述べている $f(n) = \Theta(g(n))$ ある時点から $f(n)/g(n)$ 定数によって両側から制限され、さらに $g(n) \geq 0$。（これは、定義を展開すると得られるものです。）特に、$f(n) = \Theta(g(n))$、その後、ある時点から、 $g$ 負ではありません。

ここに大きなの代替の定義があります $\Theta$。と思います$f,g \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ある正の機能は、つまり$f(n),g(n)>0$。その後$f(n) = \Theta(g(n))$ 正の定数が存在する場合 $c_1,c_2$ そのような $c_1 \leq f(n)/g(n) \leq c_2$。なぜもっと複雑な定義が紹介文で提示されているのかわかりません。

より複雑な定義の利点は何ですか？いくつかの非正の値を持つ関数を処理できます（それらの値は有限である必要があります）。たとえば、この定義は（true）ステートメントに対応しています$n-10 = \Theta(2n-30\log n)$。実際に遭遇する機能は通常は肯定的ですが、時には否定的な機能に遭遇することもあります。たとえば、本物の複雑な機能に興味があるとしましょう$k$、下から関数で推定します $t$、しかし、これは小さな $n$。

が空になる理由$\Theta(g)$

定義から直接従います。

ここで重要な部分はこれです：$f(n) | \exists\, c_1 > 0: 0 \leq c_1 g(n)$

明らかに、に対する制約（現在のところ、依存していません）は、にいくつかの正の定数掛けた値自体が正でなければならないことを示しています（大きな値の、これから暗示されます）。$f$$f$$g$$c_1$$n$

もちろん、が厳密に正でない場合、この制約はすべての可能な関数がセットメンバーになるのを防ぎます。$g$$f$$\Theta(g)$

したがって、そのようなセットは空になります。

すべての、は厳密に正です$f \in \Theta(g)$$f$

これも、定義の同じ部分から直接続きます$f(n) | \dots : 0 \leq f(n)$

明らかに、が厳密に正でない場合、条件は満たされないため、そのようなをことはできません。$f$$f$$\Theta(g)$

注：あなたが書いたものはすべて「紛らわしい」ので、何が不明確であるかは完全にはわかりません。