が、ような2つの関数、

質問のタイトルは、私が探しているものを表しています。これは、非決定論的な時間階層定理の前提条件をよりよく理解するのに役立ちます

たとえば、Arora-Barakの本では、およびを使用して定理を説明していますが、もわかります！そのため、が適切なサブセットになるように指定することで、「余分な」時間が保証されることをよりよく理解しようとしています、、ない ... $g(n) = n$$G(n) = n^{1.5}$$n \in o(n^{1.5})$$\text{NTIME}(g(n))$$\text{NTIME}(G(n))$$g(n + 1) = o(G(n))$ $g(n) = o(G(n))$

1つの例は、、です。$g(n) = 2^{2^{n-1}}$$G(n) =2^{2^{n}}$

我々は、そう。$g(n) = \sqrt{G(n)}$$g(n) = o(G(n))$

一方、もちろん、 soなので、$g(n+1) = G(n)$$g(n+1) = \Theta(G(n))$$g(n+1)\neq o(G(n))$

なぜ二重指数関数なのですか？に1を加えるときは、効果を乗法定数以上にする必要があります（大きな表記は乗法定数、したがって加法定数を隠すため）。簡単にして、に1を追加して値に多項式の効果を持たせたいとしましょう。あなたはに定数を追加するとき：$n$$O$$n$$g(n)$$n$

• 線形関数は加法定数によって増加します

• 指数関数は乗法定数によって増加します

• 二重指数関数は多項式で増加しますこの例では2の累乗、したがって）$g(n)^2 = G(n)$

また、持つことができる、、など、ここでです。一般に、とすることができます。ここで、あり、は減少していません。それから私達は持っています：$g(n) = n^n$$g(n) = n!$$G(n) = g(n-1)$$g(n) = f(n)^n$$f(n) = \omega(1)$$f$

$$\lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{G(n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{g(n)}{g(n+1)} = \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)^n}{f(n+1)^{n+1}} \leq \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)^n}{f(n)^{n+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{f(n)} = 0$$

したがって、制限の定義を使用してを示しました（最後の手順は、）。したがって、やなどの関数（は逆アッカーマン関数）でも、うまくいくでしょう。$g(n) = o(G(n))$$f(n) = \omega(1)$$(\log\log n)^n$$\alpha(n)^n$$\alpha$

取るおよび。$g(n)= n!$$G(n) = (n+1)!$