配列をに分割した場合の再帰の深さは何ですか

配列を入力として受け取る関数があります。配列を同じサイズの部分に分割しますは配列のサイズです。要素が2つだけ残るまで、各サブ配列を分割し続けます。この再帰の深さはどれくらいですか？$\log_2(n)$$n$

プロセスの例：

最初に要素があり、それらを同じサイズの部分に分割します。これらの各部分には、要素が含まれています。次のレベルの再帰では、各配列を同じサイズの部分に再度分割します。これらの各要素には、要素が含まれるようになります。そして、要素が2つしかないサブ配列に到達するまで、この方法で配列を分割し続けます。$n$$\log_2(n)$$\frac {n} {log_2(n)}$$log_2(\frac {n} {log_2(n)})$$\frac {\frac {n} {log_2(n)}} {log_2(\frac {n} {log_2(n)})}$

ましょ、およびによって表すのアプリケーションの数、それが取得するのにかかるいくつかの任意の定数を下回ります。一方で、なので、 上限を取得するには、である限り、なので、をに減らすには、最大で反復が必要です。同じ議論がをに削減するために適用されます$f(n) = n/\log n$$g(n)$$f$$n$$f^{(t)}(n) \geq n/\log^t n$

$$g(n) \geq \log_{\log n} n = \frac{\log n}{\log \log n}.$$ $f^{(t)}(n) \geq \sqrt{n}$$\log f^{(t)}(n) \geq (\log n)/2$$\log_{(\log n)/2} n = O(\log n/\log\log n)$$n$$\sqrt{n}$$\sqrt{n}$$\sqrt[4]{n}$など、したがって （ここではと同じです。）注意してください 。大きな、（say）となるため、 したがって、和は収束幾何級数によって主化され、と結論付け 合計すると、 $$g(n) \ll \frac{\log n}{\log\log n} + \frac{\log \sqrt{n}}{\log\log \sqrt{n}} + \frac{\log \sqrt[4]{n}}{\log\log \sqrt[4]{n}} + \cdots.$$ $\cdot \ll \cdot$$\cdot = O(\cdot)$$\log \sqrt{n} = \frac{1}{2} \log n$$n$$\log\log \sqrt{n} \geq \frac{2}{3} \log \log n$ $$\frac{\log \sqrt{n}}{\log\log \sqrt{n}} \leq \frac{2}{3} \frac{\log n}{\log\log n}.$$ $$g(n) = O\left(\frac{\log n}{\log\log n}\right).$$ $$g(n) = \Theta\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right).$$ より多くの作業を行うことで、おそらくなどのより洗練された推定値を証明でき $$g(n) \sim \frac{\log n}{\log \log n}.$$

反復対数を参照しているようです。log関数とも呼ばれます。これは、1以下の数値が生成されるまで、数値の対数を何回取ることができるかを表す関数です。$log *$

関数は、非常にゆっくりと成長します。テトラションの逆です。$log*$

詳しくはこちらをご覧ください。

nを配列のサイズとします。k = log2（n）とします。最初のステップでは、kで割ります。配列のサイズが超える限り、k / 2以上で除算します。これはO（log n / log log n）だと思います。$n^{1/2}$

（常にkの部分に分割する場合、log n / log kの分割が必要です。特別なケースk = log nを要求したため、log n / log log nを実行します。次に、kを縮小すると違いが生じるかどうかを判断する必要があります。）

以下のすべての対数は、底が2の対数、つまり意味します。$\log_2(\cdot)$

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質問指定された関数に名前を付けます。（「強打」はから来るのでplitting ログ。また、「暗示できSよりmaller ログ」。）正確に言えば、 で、以下の条件によって定義されます。$\operatorname{slog}$$\operatorname{slog}$$\Bbb N$

• 基本ケース、および$\operatorname{slog}(1)=0$$\operatorname{slog}(2)=1.$
• 繰り返し関係、 for$\operatorname{slog}(n)=1+ \text{slog}\left(\left\lceil\dfrac{n}{ \lceil\log n\rceil}\right\rceil\right)$$n\gt2.$

の漸近的な振る舞い$\operatorname{slog}(n)$に関する次の命題を証明できます。

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\quad\text{ slog}(n)\quad}{\dfrac{\log n}{\log\log n}}=1.$$

これが証明の基本的な考え方です。

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{\log\log n}-\frac{\log \frac n{\log n}}{\log\log \frac n{\log n}} &=\lim_{m\to\infty}\frac{m}{\log m}-\frac{m-\log m}{\log(m-\log m)}\\ &=\lim_{m\to\infty}\frac{m}{\log m}-\frac{m-\log m}{\log m + \log(1- \frac{\log m}m)}\\ &=\lim_{m\to\infty}\frac{(\log m)^2+ m\log(1- \frac{\log m}m)}{(\log m)(\log m+ \log(1- \frac{\log m}m))}\\ &=\lim_{m\to\infty}\frac{(\log m)^2+ m(-\frac{\log m}m)}{(\log m)(\log m)}\\ &=1 \end{align}$$

当然です。。$\text{slog}(n)=\Theta\left(\dfrac{\log n}{\log\log n}\right)$

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をに定義し、をに定義し、を定義しても、同じ結論が成り立ちます。。$\text{slog}(x)$$x>1$$\text{slog}(x)=1$$1\lt x\le 2$$\operatorname{slog}(n)=1+ \text{slog}\left(\dfrac{n}{ \log n}\right)$

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運動。の完全な証明を書き。$\text{slog}(n)\sim \dfrac{\log n}{\log\log n}$