再発関係の解決

反復関係解く。 この例の本は、を推測してから、であると誤って主張しています。 $T(n) = 2T(\lfloor n/2 \rfloor) + n$
$T(n) = O(n)$$T(n) \leq cn$

$\qquad \begin{align*} T(n) & \leq 2(c \lfloor n/2 \rfloor ) + n \\ &\leq cn +n \\ &=O(n) \quad \quad \quad \longleftarrow \text{ wrong!!} \end{align*}$

以来、 constant.Theエラーである私たちが証明していないことである正確な誘導仮説の形を。$c$

上記では、本の内容を正確に引用しています。ここで私の質問は、なぜにを書けないのか、そしてあり、したがってでしょうか？$cn+n=dn$$d=c+1$$T(n) \leq dn$$T(n) = O(n)$

注意：

1. 正解は$T(n) =O(n \log n).$
2. 私がここで参照している本は、Cormenらによるアルゴリズム入門、86ページ、第3版です。

著者は答えを出します：

エラーは、帰納的仮説の正確な形式、つまり証明していないことです。$T(n) \leq cn$

確かに、誘導に慣れていない場合（右）は、誘導を明示的または厳密に行わないため、理解するのは困難です。つまり、すべてのに対して1つの定数が必要ですが、この（非）証明は多く（ごとに1つ）を構成します。$c$$n$$n$

長い間、意味を覚えておいてください。$T(n) \in O(n)$

$\qquad \displaystyle \exists c \in \mathbb{N}.\, \exists n_0 \in \mathbb{N}.\, \forall n \geq n_0.\, T(n) \leq cn$

または、同等に、

$\qquad \displaystyle \exists c \in \mathbb{N}.\, \forall n \in \mathbb{N} T(n) \leq cn$。

2つ目の形式は、アンカーを知っているので、帰納法に適しています。したがって、すべての上限を提供する1つの定数が必要です。$c$ $n$

帰納法が何をするかを見てみましょう：

• 誘導アンカー：のアンカーは明示的には指定されていませんが、定数なので、適切なを見つけます。$T$$c$
• 帰納法の仮説：任意の固定されたに対して、 すべてのになるようながいくつかあります。$c$$T(k) \leq cn$$k\leq n$$n$
• 帰納的ステップ：質問に示されているように、なるように構築し。$d > c$$T(n+1) \leq dn$

したがって、実際には、すべての新しい定数を作成します。それはの定義にまったく適合しません！そして、悪いことに、それは完全に無意味である：すべての関数は、次のように「有界」することができ、他のあなたと要因を調整することができるかどうかの関数。$n$$O$$n$

帰納証明に関して、は、帰納法の「外側」に結び付けられているクレームの一部でなければなりません（そして、に隠されています）。次に、同じがアンカー、仮説、ステップに現れます。例については、この回答の最後の部分を参照してください。$c$$O$$c$