タグ付けされた質問 「induction」

私のコンピューティング理論コースでは、多くの問題は、入力文字列の長さの帰納法を使用して、有限オートマトンに関するステートメントを証明することを伴います。私は数学的帰納法を理解していますが、文字列が出てくると、本当につまずきます。誰かがそのような証拠を段階的に作成するプロセスを経てくれたら本当に感謝しています。 問題の例は次のとおりです（Hopcroft and Ullman 3rd Editionの演習2.2.10）： 次の遷移表を持つDFAを検討してください。 0 1 ________ -> A | AB * B | BA このDFAで受け入れられている言語を非公式に記述し、入力文字列の長さの帰納法により、記述が正しいことを証明します。 これは本の中で答えられた問題なので、宿題をする人を探していません。誰かが私にそれをまっすぐに説明してくれるだけです。 本の答え：（ここ から引用） オートマトンは、1の数が偶数（状態A）か奇数（状態B）かを判断し、後者の場合は受け入れます。| w |の簡単な帰納法です。wが1の偶数である場合にのみ、dh（A、w）= Aであることを示します。根拠：| w | =0。その後、空の文字列には必ず1の偶数、つまりゼロの1があり、δ-hat（A、w）= Aになります。 帰納法：wより短い文字列のステートメントを想定します。次に、w = za、ここでaは0または1です。 ケース1： a =0。wの偶数が1の場合、zも同じです。帰納的仮説により、δ-hat（A、z）=A。DFAの遷移はδ-hat（A、w）= Aを示します。wが1の奇数である場合、zも同様です。帰納的仮説、δ-hat（A、z）= B、およびDFAの遷移により、δ-hat（A、w）= Bがわかります。したがって、この場合、δ-hat（A、w）= wが1の偶数である場合に限ります。 ケース2： a =1。wの偶数が1の場合、zの奇数は1です。帰納的仮説により、δ-hat（A、z）=B。DFAの遷移はδ-hat（A、w）= Aを示します。wの奇数が1の場合、zの偶数は1の。帰納的仮説、δ-hat（A、z）= A、およびDFAの遷移により、δ-hat（A、w）= Bがわかります。したがって、この場合もδ-hat（A、w ）= wが1の偶数である場合にのみ。 を帰納法で証明する方法を理解しています。私は、これが文字列の構築とどのように機能するのか混乱しています。太字の部分に混乱しています。彼らがどのように思い付いたのか、どのように受け入れられたものを実際に証明したのか、それがどのように帰納的であるのかがわかりません。∑ni = …

20 automata  finite-automata  proof-techniques  reference-question  induction 

HoTTの本を読んでいますが、経路誘導に苦労しています。 私はセクションタイプを見たとき1.12.1： それが何を意味するのかを理解するのに問題はありません（それを確認するために、メモリから型を書きました）。ind=A:∏C:∏x,y:A(x=Ay)→U((∏x:AC(x,x,reflx))→∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p)),ind=A:∏C:∏x,y:A(x=Ay)→U((∏x:AC(x,x,reflx))→∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p)),\text{ind}_{=_A}:\prod_{C:\prod\limits_{x,y:A}(x=_Ay)\to \mathcal{U}} \left( \left(\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)\right) \to \prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p) \right), 私が問題にしているのは次のステートメントです： 私の第一印象は、この最後の式はないということであった定義得られた関数 ちょうどそのを述べプロパティ。 F ：Πは、xは、Y ：A ΠのP ：X = A Y C （X 、Y 、P ）、with the equalityind=A(C,c,x,x,reflx):≡c(x)with the equalityind=A(C,c,x,x,reflx):≡c(x)\text{with the equality}\quad \text{ind}_{=_A}(C,c,x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x)f:∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p),f:∏x,y:A∏p:x=AyC(x,y,p),f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p), すなわち、誘導原理の以前の実施例とは対照的である、または -がされている方程式の定義これらの要素のために-私たちは、実際に施設が与えられた機能を構築する方法を知っています。これは、この章全体で宣伝されている型理論の「建設性」と一致しています。 ind A + B ind NindA×BindA×B\text{ind}_{A\times B}indA+BindA+B\text{ind}_{A+B}indNindN\text{ind}_\mathbb{N} に戻ると、それが定義されていない（と思われる）ことを疑っていました。要素がちょうど存在するということは、この章の残りの部分とは調和していないように思われました。そして実際、セクション1.12.1は、私の印象は間違っていると、ストレスに思えるし、実際に我々は定義されました find=Aind=A\text{ind}_{=_A}fff ... 関数 によって定義される から経路誘導、さらに …

17 induction  dependent-types  homotopy-type-theory 

「帰納的に」と「再帰的に」は非常に似ていることを意味しますか？ たとえば、決定された最初のk成分に基づいて最初のk + 1成分を決定することによりn次元ベクトルを決定し、最初の成分で初期化されるアルゴリズムがある場合、それは再帰的または帰納的に機能しますか？私は「再帰的に」使用してきましたが、今日誰かが「帰納的に」それを言いました。

11 algorithms  terminology  recursion  induction 

誘導誘導とは何ですか？ 私が見つけたリソースは次のとおりです。 5.7章の最後にあるHoTT本。 nLabの記事 帰納的帰納的定義と呼ばれる論文 このブログの投稿では、帰納的誘導型についても触れています 最初の2つの参照は私には短すぎますが、後の2つは専門的すぎます。誰でも簡単に説明できますか？Agdaコードがあればもっと良いでしょう。

11 type-theory  induction  inductive-datatypes 

この証明は帰納法による証明であり、次のようになります。 P（n）は、「クイックソートが長さnのすべての入力配列を正しくソートする」という表明です。 基本ケース：長さ1のすべての入力配列は既にソートされています（P（1）が保持されます） 帰納的ステップ：n => 2を修正します。長さnの入力配列を修正します。 表示する必要があります：P（k）がすべてのk <nに対して成り立つ場合、P（n）も成り立ちます 次に、ピボットpの周りに分割された配列Aを描画します。したがって、彼はpを描画し、配列の<pである部分を最初の部分として呼び出し、> pである部分を2番目の部分として呼び出します。パーツ1の長さ= k1、パーツ2の長さはk2です。（前に提供された）Partitionサブルーチンの正確性の証明により、ピボットpは正しい位置に巻き上げられます。 帰納的仮説：1番目、2番目の部分は再帰呼び出しによって正しくソートされます。（P（K1）、P（k2）を使用） したがって、再帰呼び出しの後、配列全体が正しくソートされます。 QED 私の混乱：これが正確さをどのように証明するかを正確に確認するのに多くの問題があります。したがって、P（k）が実際にすべての自然数k <nに対して成立すると仮定します。 これまでに見た誘導証明のほとんどは、次のようなものです。基本ケースを証明し、P（n）=> P（n + 1）であることを示します。それらは通常、ある種の代数的操作も含みました。この証明は非常に異なっているように見え、誘導の概念をそれに適用する方法がわかりません。私は、Partitionサブルーチンの正確さが鍵であるといくぶん推論できます。したがって、その正確さの理由は次のとおりです。再帰呼び出しのたびに、ピボットの周りで配列が分割されることがわかっています。その後、このピボットはその正しい位置になります。次に、各サブアレイはピボットを中心にさらに分割され、そのピボットは正しい位置に配置されます。これは、長さ1のサブ配列を取得するまで繰り返し行われます。 しかし、P（k）がすべてのk <nに当てはまるとは想定していません。実際にそれを示しています（Partitionサブルーチンは常に1つの要素を正しい位置に配置するため）。Pを想定していませんか？ （k）すべてのkに当てはまる

10 correctness-proof  induction  quicksort 

反復関係解く。 この例の本は、を推測してから、であると誤って主張しています。 T(n)=2T(⌊n/2⌋)+nT(n)=2T(⌊n/2⌋)+nT(n) = 2T(\lfloor n/2 \rfloor) + nT(n)=O(n)T(n)=O(n)T(n) = O(n)T(n)≤cnT(n)≤cnT(n) \leq cn T(n)≤2(c⌊n/2⌋)+n≤cn+n=O(n)⟵ wrong!!T(n)≤2(c⌊n/2⌋)+n≤cn+n=O(n)⟵ wrong!!\qquad \begin{align*} T(n) & \leq 2(c \lfloor n/2 \rfloor ) + n \\ &\leq cn +n \\ &=O(n) \quad \quad \quad \longleftarrow \text{ wrong!!} \end{align*} 以来、 constant.Theエラーである私たちが証明していないことである正確な誘導仮説の形を。ccc 上記では、本の内容を正確に引用しています。ここで私の質問は、なぜにを書けないのか、そしてあり、したがってでしょうか？cn+n=dncn+n=dncn+n=dnd=c+1d=c+1d=c+1T(n)≤dnT(n)≤dnT(n) \leq dnT(n)=O(n)T(n)=O(n)T(n) = O(n) 注意： 正解はT(n)=O(nlogn).T(n)=O(nlog⁡n).T(n) =O(n …

7 proof-techniques  asymptotics  recurrence-relation  landau-notation  induction