誘導誘導とは何ですか？

誘導誘導とは何ですか？

私が見つけたリソースは次のとおりです。

5.7章の最後にあるHoTT本。
nLabの記事
帰納的帰納的定義と呼ばれる論文
このブログの投稿では、帰納的誘導型についても触れています

最初の2つの参照は私には短すぎますが、後の2つは専門的すぎます。誰でも簡単に説明できますか？Agdaコードがあればもっと良いでしょう。

type-theory induction inductive-datatypes

— 盛安安
ソース

4番目の引用にはAgdaコードがあります。

— Gilles「SO-邪悪なことをやめなさい」

もちろん、その膨大な量のコードを読み取るのは非常に困難です。そして、（たぶん）1つまたは2つの例を見るだけで非常に簡単です。

— 盛安安

補足2016-10-03：帰納-帰納と帰納-再帰を混同しました（初めてではありませんでした！）。混乱の私の謝罪。両方をカバーするように答えを更新しました。

その説明は、Forsberg＆Setzerの論文「帰納的帰納的定義の有限公理」にあります。

帰納再帰

帰納的再帰定義は、タイプとタイプファミリーを定義するものです特別な方法で同時に定義します。 $A$ $B : A \to \mathsf{Type}$

$A$ は誘導型として定義されます。
$B$ は再帰によって定義されます。 $A$
重要なのは、の定義で使用ことです。 $A$ $B$

3番目の要件がない場合、最初にを定義し、次に個別に定義できます。 $A$ $B$

これが赤ちゃんの例です。次のコンストラクターを持つように帰納的に定義します。 $A$

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

タイプファミリーは、 $B$

$B(a) = \mathtt{bool}$
$B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$ 。

それで、は何がありますか？まず、要素そのため、として定義されている型あります。したがって、我々は、2つの新しい要素を形成することができるおよびにおける。これで、が得られたので、すべてのについても形成できます要素とこのように続けることができます。次の段階は、 $A$

a : A .

$a : A.$

B (a)

$B(a)$

b o o l

$\mathtt{bool}$

ℓ (a, f a l s e)

$\ell(a, \mathtt{false})$

ℓ (a, t r u e)

$\ell(a, \mathtt{true})$

A

$A$

B (ℓ (a, f a l s e)) = B (ℓ (a, t r u e)) = n a t

$B(\ell(a, \mathtt{false})) = B(\ell(a, \mathtt{true})) = \mathtt{nat}$

n : n a t

$n : \mathtt{nat}$

ℓ (ℓ (a, f a l s e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n) : A$

ℓ (ℓ (a, t r u e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n) : A$

B (ℓ (ℓ (a, t r u e), n)) = n a t

$B(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n)) = \mathtt{nat}$ ごとに存在します要素と要素続行できます。少し考えてみると、は自然数のリストの多かれ少なかれ2つのコピーであり、共通の空のリストを共有しています。その理由を理解するための演習として残しておきます。

m : n a t

$m : \mathtt{nat}$

ℓ (ℓ (ℓ (a, t r u e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n), m) : A$

ℓ (ℓ (ℓ (a, f a l s e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n), m) : A$

A

$A$

誘導誘導

帰納的帰納的定義は、タイプとタイプファミリー同時に定義し： $A$ $B : A \to \mathsf{Type}$

$A$ は帰納的に定義されます
$B$ は帰納的に定義され、参照する場合があります $A$
重要なのは、 が参照することです。 $A$ $B$

帰納再帰と帰納帰納の違いを理解することが重要です。帰納的再帰では、という形式の方程式を提供してを定義します。ここで、はコンストラクターです。誘導誘導定義では、定義元素形成するためのコンストラクタを提供することによって。 $B$

B (c (\dots)) = \dots

$B(\mathsf{c}(\ldots)) = \cdots$

c (\dots)

$\mathsf{c}(\ldots)$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

前の例を帰納法として再定式化しましょう。最初に、帰納的に与えられたtpyeます： $A$

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

タイプファミリーは、次のコンストラクターによって定義されます。 $B$

$\mathsf{Tru} : B(a)$
$\mathsf{Fal} : B(a)$
もし及び、次に $x : A$ $y : B(x)$ $\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
if and and then。 $x : A$ $y : B(x)$ $z : B(\ell(x,y))$ $\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$

ご覧のとおり、はブール値に（等値）であり、は自然数に（同型あるというの要素を生成するためのルールを提供しました。 $B$ $B(a)$ $B(\ell(x,y))$

— アンドレイ・バウアー
ソース

なぜ

— 一体

帰納-誘導型が何であるかを教えるために。実際の例、つまりタイプユニバースを紹介できますが、それは混乱を招きます。

— Andrej Bauer

@AndrejBauerこれは、私にとって帰納再帰のように見えます。帰納-帰納は、型ファミリーが帰納型として定義されている場合です。

— ガレーレ

おっと、あなたは完全に正しいです。直します。

— Andrej Bauer

のドメインはPi型ではなくSigma型であるはずですか？

ℓ

$\ell$

— Dan Christensen、