漸近的に記述された関数を操作して結論を​​出すことはできますか？

この質問は宿題に基づいています（実際の問​​題は使用していません）。

次のような関数があるとします。

次に、これを次のように扱いますか？

それに数学を実行し、その漸近的な意味を保ちますか？

上記の場合、が意味すると推測できますか（この例では係数が重要であると仮定しています）？$f(n) \in O(2n^2)$$f(n) / 2 \in O(n^2)$

加算、乗算などの一部の演算では、漸近表記で直接演算できます。たとえば、および場合、および。除算など、他のいくつかの操作では、それはその時によります。たとえば、および場合、と言っても正しくありません（および検討してください）。ただし、が固定定数の場合、$\small g(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small f(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small g(n) + f(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small g(n) \cdot f(n) = \mathcal{O}(n^4)$$\small g(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small f(n) = \mathcal{O}(n^2)$$\small \frac{g(n)}{f(n)} = \mathcal{O}(1)$$\small g(n) = n^2$$\small f(n) = n$$c$$\small \frac{g(n)}{c} = \mathcal{O}(n^2)$。

予想のような質問に答えるには、の定義を使用します。執筆時点でのウィキペディアからの言い換え：$O$

$f \in O(g)$ iff for all、for some constants and。$f(x) \leq M\times g(x)$$x > x_0$$M$$x_0$

したがって、場合、 for constants and（私はそれを代わりには後で混乱を避けるためです）。を1つの定数に結合できることがわかります。これにより、わかります。$f(n) \in O(2n^2)$$f(n) \leq C \times 2n^2 \ \ \forall n > n_0$$C$$n_0$$C$$M$$2C$$O(2n^2) = O(n^2)$

について何が言えますか？これで、両側を2で除算するなど、不等式で通常の代数を使用できます。$f(n)/2$

$f(n)/2 \leq Cn^2 \ \ \forall n > n_0$

これはまだですか？これをチェックするには、上記の定義が成り立つような定数とを見つける必要があります。この場合、および機能します。も有効であることに注意してください。これらの定数が定数であることがわかっている限り、これらの定数を検索する方法は何でも使用できます。$O(n^2)$$M$$x_0$$M = C$$x_0 = n_0$$M = 327.6C$

現実世界では、NP-hardが彼の答えで行うように、分析を行うときにこれのほとんどを「ショートカット」することができますが、これらはこのように厳密に書き出すための単なるショートカットです（これは私が期待することです）特にに関する宿題）。それが有効かどうかわからない場合は、定義を使用して取得し、不等式で代数を実行してから、適切な定数を見つける（または単に存在することを示す）ことでに戻します。$O$$O$$O$