二変量ポアソン分布の導出
最近、2変量ポアソン分布に遭遇しましたが、その導出方法について少し混乱しています。 分布は次のとおりです。 P(X=x,Y=y)=e−(θ1+θ2+θ0)θx1x!θy2y!∑i=0min(x,y)(xi)(yi)i!(θ0θ1θ2)iP(X=x,Y=y)=e−(θ1+θ2+θ0)θ1xx!θ2yy!∑i=0min(x,y)(xi)(yi)i!(θ0θ1θ2)iP(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i} 私が収集できることから、θ0θ0\theta_{0}項はXXXとYの間の相関の尺度YYYです。したがって、XXXとYYYが独立している場合、θ0=0θ0=0\theta_{0} = 0あり、分布は2つの単変量ポアソン分布の積になります。 これを念頭に置いて、私の混乱は総和項に基づいています-この項はXXXとYの間の相関を説明すると仮定していYYYます。 私には、被加数は「成功」の確率が\ left（\ frac {\ theta_ {0}} {\ theta_ {1} \ theta_ {2}で与えられる二項累積分布関数のある種の積を構成するように思われます} \ right）(θ0θ1θ2)(θ0θ1θ2)\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)および「失敗」の確率はi！^ {\ frac {1} {min（x、y）-i}}によって与えられます。i!1min(x,y)−ii!1min(x,y)−ii!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}なぜなら、(i!1min(x,y)−i!)(min(x,y)−i)=i!(i!1min(x,y)−i!)(min(x,y)−i)=i!\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!、しかしこれで大丈夫です。 誰かがこの分布をどのように導き出すことができるかについての支援を提供できますか？また、このモデルを多変量シナリオ（3つ以上のランダム変数など）に拡張する方法を回答に含めることができれば、それは素晴らしいことです！ （最後に、以前に投稿された同様の質問（2変量ポアソン分布を理解する）があったことに注意しましたが、その導出は実際には調査されませんでした。）