負の二項分布の連続一般化
負の二項分布は非負の整数で定義され、確率質量関数f(k;r,p)=(k+r−1k)pk(1−p)r.f(k;r,p)=(k+r−1k)pk(1−p)r.f(k;r,p)={\binom {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}.同じ式（k∈N0k∈N0k\in \mathbb N_0をx \ in \ mathbb R _ {\ ge 0}で置き換える）で定義された非負の実数上の連続分布を考慮することは意味がありx∈R≥0x∈R≥0x\in\mathbb R_{\ge 0}ますか？二項係数は（k + 1）\ cdot \ ldots \ cdot（k + r-1）の積として書き換えることができます(k+1)⋅…⋅(k+r−1)(k+1)⋅…⋅(k+r−1)(k+1)\cdot\ldots\cdot(k+r-1)。これは任意の実数kに対して明確に定義されていますkkk。したがって、PDF f(x;r,p)∝∏i=1r−1(x+i)⋅px(1−p)r.f(x;r,p)∝∏i=1r−1(x+i)⋅px(1−p)r.f(x;r,p)\propto\prod_{i=1}^{r-1}(x+i)\cdot p^{x}(1-p)^{r}. より一般的には、二項係数をガンマ関数で置き換えて、rの非整数値を許可できますrrr。 f(x;r,p)∝Γ(x+r)Γ(x+1)Γ(r)⋅px(1−p)r.f(x;r,p)∝Γ(x+r)Γ(x+1)Γ(r)⋅px(1−p)r.f(x;r,p)\propto\frac{\Gamma(x+r)}{\Gamma(x+1)\Gamma(r)}\cdot p^{x}(1-p)^{r}. 有効な配布ですか？名前はありますか？用途はありますか？多分化合物か混合物か？平均と分散（およびPDFの比例定数）の閉じた式はありますか？ （現在、NB混合モデル（固定r=2r=2r=2）を使用してEMで近似する論文を研究しています。ただし、データは、正規化後の整数、つまり整数ではありません。可能性と非常に合理的な結果を得るので、すべてがうまく機能しているようです。私はそれが非常に不可解であることがわかりました。この質問はNB GLM に関するものではないことに注意してください。