二変量ポアソン分布の導出

最近、2変量ポアソン分布に遭遇しましたが、その導出方法について少し混乱しています。

分布は次のとおりです。

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

私が収集できることから、 $\theta_{0}$ 項は $X$ と間の相関の尺度 $Y$ です。したがって、 $X$ と $Y$ が独立している場合、 $\theta_{0} = 0$ あり、分布は2つの単変量ポアソン分布の積になります。

これを念頭に置いて、私の混乱は総和項に基づいています-この項は $X$ と間の相関を説明すると仮定してい $Y$ ます。

私には、被加数は「成功」の確率が与えられる二項累積分布関数のある種の積を構成するように思われます $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ および「失敗」の確率はによって与えられ $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ なぜなら、 $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$ 、しかしこれで大丈夫です。

誰かがこの分布をどのように導き出すことができるかについての支援を提供できますか？また、このモデルを多変量シナリオ（3つ以上のランダム変数など）に拡張する方法を回答に含めることができれば、それは素晴らしいことです！

（最後に、以前に投稿された同様の質問（2変量ポアソン分布を理解する）があったことに注意しましたが、その導出は実際には調査されませんでした。）

— user9171
ソース

指数と最初の項はあってはならないの代わりに？

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-\left( \theta_1 + \theta_2 + \theta_0 \right)}$

e^{θ_{1} + θ_{2} + θ_{0}}

$e^{\theta_1 + \theta_2 + \theta_0}$

— ジル

@Giles申し訳ありませんが、最初はあなたのコメントを読み間違えました-はい、あなたは正しいです。用語はます。それをキャッチしてくれてありがとう！

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})}$

— user9171 14

一般に、いくつかの従来の例外を除いて、単変量分布の多変量バージョンの「the」ではありません（「the」多変量正規分布など）。多機能拡張機能を取得する方法は、どの機能が最も重要かによって異なります。異なる著者は、一般的な単変量分布の異なる多変量バージョンを持っている場合があります。だから、一般的に、人は「何か言うかもしれない「ポアソンを多変量ポアソンを」、または「まあまあの二変量この1つはかなり自然なだけでなく、1です。。

— Glen_b -Reinstateモニカ

（ctd）...例えば、一部の著者は、負の依存性を持つ多変量分布を探します。これは、この分布にはない機能です。

— Glen_b -Reinstateモニカ

回答:

スライドプレゼンテーション、KarlisとNtzoufrasは分布として二変量ポアソンを定義する独立ポアソン有する分布。このような分布を持つことは、 $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$ $X_i$ $\theta_i$

Pr (X_{i} = k) = e^{- θ_{i}} \frac{θ_{i}^{k}}{k!}

$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$

以下のため $k=0, 1, 2, \ldots.$

イベントは、イベントの互いに素な結合です。 $(X,Y)=(x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$

3つのコンポーネントすべてを非負の整数にするすべてのについて、そこから推定できます。は独立しているため、確率は増加します。 $i$ $0 \le i \le \min(x,y)$ $X_i$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = Pr ((X, Y) = (x, y)) = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} Pr (X_{0} = i) Pr (X_{1} = x - i) Pr (X_{2} = y - i) .

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$

これは式です。完了です。 しかし、それが問題の式と同等であることを確認するには、ポアソン分布の定義を使用して、これらの確率をパラメーターに関して記述し、（いずれもゼロではないと仮定して）代数的に再処理します可能な限り製品ように見えるようにするには： $\theta_i$ $\theta_1,\theta_2$ $\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

\begin{aligned} F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) & = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} (e^{- θ_{0}} \frac{θ_{0}^{i}}{i!}) (e^{- θ_{1}} \frac{θ_{1}^{x - i}}{(x - i)!}) (e^{- θ_{2}} \frac{θ_{2}^{y - i}}{(y - i)!}) \\ = e^{- (θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} (e^{- θ_{0}} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} \frac{θ_{0}^{i}}{i!} \frac{x! θ_{1}^{- i}}{(x - i)!} \frac{y! θ_{2}^{- i}}{(y - i)!}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$

あなたが本当にしたい場合-それはやや示唆的です-二項係数およびを使用して合計の項を再表現できます、降伏 $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ $\binom{y}{i}$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = e^{- (θ_{0} + θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} i! (\binom{x}{i}) (\binom{y}{i}) {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{i},

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$

質問のとおりです。

多変量シナリオへの一般化は、必要な柔軟性に応じて、いくつかの方法で進めることができます。最も単純なのは、

(X_{1} + X_{0}, X_{2} + X_{0}, \dots, X_{d} + X_{0})

$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$

独立ポアソン分布変量。柔軟性を高めるために、追加の変数を導入できます。例えば、ポアソン独立使用変数の多変量分布検討、 $X_0, X_1, \ldots,X_d$ $\eta_i$ $Y_1, \ldots, Y_d$ $X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$ $i=1, 2, \ldots, d.$

— ウーバー
ソース

称賛！ところで、すべきではない第二最後のステップの前に大きな括弧内にも？

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

e^{- θ_{2}}

$e^{-\theta_2}$

— ジル

@Gilles誤字をキャッチしていただきありがとうございます-私はそれを修正しました。の初期指数は必要があり。括弧内のは正しいです。

θ_{0} + θ_{1}

$\theta_0+\theta_1$

θ_{1} + θ_{2}

$\theta_1+\theta_2$

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

— whuber

@whuberどうもありがとう！それは完璧な答えです！

— user9171 14

@whuber素晴らしい答え！イベントがイベントの互いに素な結合である理由はまだわかりません。これはのみ当てはまると思い。おそらく（コンポーネント単位）を意味していましたか？しかし、分布関数を特徴付けるのにそれで十分ですか？

(X, Y) = (x, y)

$(X,Y) = (x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2)=(i,x-i,y-i)$

i = 0

$i=0$

(X, Y) \leq (x, y)

$(X,Y) \leq (x,y)$

— vanguard2k

@ vanguard2kあなたのコメントがわかりません。これらのイベントはばらばらではないと断言していますか？（異なる値を持っているため、そうでなければなりません。）または、それらが網羅的ではないと断言していますか？（その場合、

X_{0}

$X_0$

(X, Y)

$(X,Y)$

— のどの値

以下に、2変量ポアソン分布を導出する方法を示します。

ましょうパラメータを持つ独立したポアソンランダム変数である。次に、を定義します。と両方に共通の変数は、ペアを相関させます。次に、確率質量関数を計算する必要があります。 $X_0, X_1, X_2$ $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ $Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$ $X_0$ $Y_1$ $Y_2$ $(Y_1, Y_2)$

\begin{aligned} P (Y_{1} = y_{1}, Y_{2} = y_{2}) & = P (X_{0} + X_{1} = y_{1}, X_{0} + X_{2} = y_{2}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} P (X_{0} = x_{0}) P (X_{1} = y_{1} - x_{0}) P (X_{2} = y_{2} - y_{0}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} e^{- θ_{0}} \frac{{θ_{0}}^{x_{0}}}{x_{0}!} e^{- θ_{1}} \frac{{θ_{1}}^{y_{1} - x_{0}}}{(y_{1} - x_{0})!} e^{- θ_{2}} \frac{{θ_{2}}^{y_{2} - x_{0}}}{(y_{2} - x_{0})!} \\ = e^{- θ_{0} - θ_{1} - θ_{2}} {θ_{1}}^{y_{1}} {θ_{2}}^{y_{2}} \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{x_{0}} x_{0}! (\binom{y_{1}}{x_{0}}) (\binom{y_{2}}{x_{0}}) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$
これが役に立てばです！

— kjetil b halvorsen
ソース

こんにちはKjetil-書式設定に関する問題を修正しました（ただし、できるだけ変更しないように、いくつかの入力ミスはそのまま残しました）。特に、最終結果が不正確になる重要な要因を途中で失った場合、なぜ以前の回答で派生物のレプリカを投稿するのか理解できません。あなたがしようとしている特定のポイントはありますか？

T E X

$\TeX$

— whuber

whuber：私はあなたの答えが投稿される前に私の答えを書き始めました！そうでなければ、私はそれを書いていなかっただろう。

— kjetil bハルヴォルセン14