モーメント生成関数が確率分布を一意に決定することの証明

Wackerly et alのテキストは、この定理「とそれぞれランダム変数XとYのモーメント生成関数を示している。両方のモーメント生成関数が存在し、 tのすべての値に対して、XとYは同じ確率分布を持ちます。」テキストの範囲を超えているという証拠はありません。Scheaffer Youngにも証明のない同じ定理があります。Casellaのコピーはありませんが、Googleブック検索では定理を見つけることができなかったようです。m y（t ）m x（t ）= m y（t $m_x(t)$$m_y(t)$$m_x(t) = m_y(t)$

Gutのテキストは証明の概要を持っているように見えますが、「よく知られている結果」を参照せず、証拠も提供されていない別の結果を知る必要もあります。

誰が最初にこれを証明したか、そしてその証明がどこでもオンラインで利用可能かどうかを知っていますか？それ以外の場合、この証明の詳細をどのように記入しますか？

私が聞かれなかった場合、これは宿題の質問ではありませんが、これはおそらく誰かの宿題であると想像できます。ワッカーリーのテキストに基づいてコースシーケンスを取りましたが、しばらくの間、この証明について疑問に思っていました。それで、私はそれがちょうど尋ねる時間であると思いました。

この一般的な証拠は、Feller（確率論とその応用の紹介、Vol。2）にあります。これは、ラプラス変換理論を含む反転問題です。mgfがラプラス変換と驚くほど似ていることに気づきましたか？ラプラス変換の使用については、Widder（Calcus Vol I）を参照できます。

特殊なケースの証明：

XとYが両方とも{ }で可能な値のみを取るランダム変数であると仮定します。さらに、XとYがすべてのtに対して同じmgfを持っていると仮定します。 簡単にするために、 とし、をます。N Σ X = 0、E T X F X（X ）= N Σ Y = 0のE のT Y F Yは（Y ）、S = E T C iが = fをX（I ）- F Y（私は）私は= 0 、1 、$0, 1, 2,\dots, n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

今 上記は、係数もつsの多項式です。あれば、それはSの全ての値に対してゼロになることができる唯一の方法がある。だから、我々が持っているのために。⇒ N Σ X = 0、SXFX（X）- N Σ Y = 0のYFY（Y）=0⇒ N Σ

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$$i=0, 1,\dots,n$

したがって、、です。$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

つまり、と密度関数はまったく同じです。つまり、と分布は同じです。$X$$Y$$X$$Y$

議論している定理は、確率/測定理論の基本的な結果です。証明は、確率論または統計理論の本で見つかる可能性が高いでしょう。Hoel Port and Stone pp 205-208に記載されている特性関数の類似の結果が見つかりました

タッカーpp 51-53

およびChung pp 151-155これは第3版です。私は第2版を所有しており、1974年に公開された第2版のページ番号を参照しています。

mgfの証明は見つけるのが難しいことがわかりましたが、ビリングリーの本「Probability and Measure」pp。342-345で見つけることができます。342ページで、定理30.1は瞬間の問題に答える定理を提供します。345ページで、ビリングスリーは、確率測度が0を囲む区間で定義されたモーメント生成関数M（s）を持っている場合、定理30.1の仮説が満たされ、測度はそのモーメントによって決定されるという結果を述べています。しかし、これらのモーメントはM（s）によって決定されます。したがって、M（s）が0の近傍に存在する場合、測度はそのモーメント生成関数によって決定されます。したがって、このロジックと彼がTheorem30.1に与える証明は結果を証明します。ビリングスリーはまた、26を行使する解決策についてコメントしています。

$X$$M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$$M_X(t) = M_Y(t) < \infty$$t \in (-\delta,\delta)$$F_X(t) = F_Y(t)$$t \in \mathbb{R}$

モーメント生成関数が分布を決定することを証明するために、少なくとも2つのアプローチがあります。

• $M_X$$(-\delta,\delta)$$X$$F_X$$(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$$M_X$

• $M_X$$(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$M_X(z)=Ee^{zX}$$M_X(it)=\varphi_X(t)$$t\in\mathbb{R}$$\varphi_X$$F_X$カーティス、JHアン。数学。統計13：430-433およびその中の参照。

学部レベルでは、ほとんどすべての教科書がモーメント生成機能で動作し、証明せずに上記の定理を述べています。それは理にかなっています。なぜなら、その証明には学部レベルが許すよりもはるかに高度な数学が必要だからです。

$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$