2つの通常の製品の合計はラプラスですか？

これは、明らかにケースで、もし、その後、 $X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

任意の二次形式に関する論文を見てきましたが、それは常に恐ろしい非中心カイ二乗式をもたらします。

上記の単純な関係は、私にはまったく明白ではないように思えるので、（もしそうなら！）上記の単純な証拠は誰にもありますか？

— コロネ
ソース

分布間のよく知られた関係と単純な代数的分極恒等式を使用した基本的なステップシーケンスは、基本的な直感的なデモンストレーションを提供します。

この分極アイデンティティは、一般にランダム変数の製品について推論し、それを計算するのに役立つことがわかりました。最初に行列を対角化することで、マトリックスを操作するのに少し似ています。（ここには表面的なつながり以上のものがあります。）

ラプラス分布は2つの指数の差です（指数は「ハーフラプラス」分布であるため、これは直感的にある程度意味があります）。（リンクは特性関数を操作することでこれを示していますが、畳み込みとしての差の定義に続く基本的な統合を使用して関係を証明できます。）

指数分布（それ自体は $\Gamma(1)$ 分布）も（のスケーリングされたバージョン）であり、分布。 $\chi^2(2)$ スケール係数は、。これは、2つのディストリビューションのPDFを比較することで簡単に確認できます。 $1/2$

分布は $\chi^2$ IID正規分布の二乗の和が（ゼロ手段を有する）として自然に得られます。自由度は、合計の正規分布の数をカウントします。 $2$

代数関係

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

展示標準法線の線形組み合わせでそれぞれが4つの分布の正方形の点で好ましいです。4つの線形の組み合わせすべてが線形に独立している（そして、それぞれがNormal $X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ 分布）。したがって、平均ゼロ二同一分布正規分布の二乗を合計する最初の2つの用語は、形成スケール 分布（およびそのスケール係数を $\chi^2(2)$ ）は指数分布にするために必要とされている正確に何であり、第二の2つの用語は、独立して同じ理由で、あまりにも、指数分布を持っています。 $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

したがって、、2つの独立した指数分布の差であるには、（標準）ラプラス分布があります。 $X_1X_2+X_3X_4$

— ウーバー
ソース

それは絶対に楽しいです！

— コロネ

瞬間生成関数に基づく別の答えがstats.stackexchange.com/a/51717/919に表示されていることに気づきました。「偶発的に」中央の段落を参照してください（ラプラス分布の別の名前は「双指数関数」です））。このスレッドは、現在の質問を一般化したMGFに関係しています。

— whuber

良い導出ですが、2つの独立した指数分布変数の差がラプラシアン分布を持っていることをどのように知っていますか？

— HelloGoodbye

@Helloリンクをたどってください。簡単なデモを含むウィキペディアの記事に移動します。

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$ 特徴的な機能を有しています

ϕ_{バツ} （ t ） = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$ これは、製品標準の標準の特性関数の2乗です（/math/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variablesを参照）。この主張は、独立したランダム変数の合計が特性関数の積に関連するという事実に基づいています。

— マイケル・M
ソース