MLEである
仮定(X,Y)(X,Y)(X,Y) PDFを有します fθ(x,y)=e−(x/θ+θy)1x>0,y>0,θ>0fθ(x,y)=e−(x/θ+θy)1x>0,y>0,θ>0f_{\theta}(x,y)=e^{-(x/\theta+\theta y)}\mathbf1_{x>0,y>0}\quad,\,\theta>0 試料の密度(X,Y)=(Xi,Yi)1≤i≤n(X,Y)=(Xi,Yi)1≤i≤n(\mathbf X,\mathbf Y)=(X_i,Y_i)_{1\le i\le n}この集団から引き出され、したがってあります gθ(x,y)=∏i=1nfθ(xi,yi)=exp[−∑i=1n(xiθ+θyi)]1x1,…,xn,y1,…,yn>0=exp[−nx¯θ−θny¯]1x(1),y(1)>0,θ>0gθ(x,y)=∏i=1nfθ(xi,yi)=exp[−∑i=1n(xiθ+θyi)]1x1,…,xn,y1,…,yn>0=exp[−nx¯θ−θny¯]1x(1),y(1)>0,θ>0\begin{align} g_{\theta}(\mathbf x,\mathbf y)&=\prod_{i=1}^n f_{\theta}(x_i,y_i) \\&=\exp\left[{-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{\theta}+\theta y_i\right)}\right]\mathbf1_{x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n>0} \\&=\exp\left[-\frac{n\bar x}{\theta}-\theta n\bar y\right]\mathbf1_{x_{(1)},y_{(1)}>0}\quad,\,\theta>0 \end{align} θθ\thetaの最尤推定量は、次のように導出できます。 θ^(X,Y)=X¯¯¯¯Y¯¯¯¯−−−√θ^(X,Y)=X¯Y¯\hat\theta(\mathbf X,\mathbf Y)=\sqrt\frac{\overline X}{\overline Y} このMLEの制限分布が正常かどうかを知りたいです。 のための十分統計ことは明らかであるθθ\thetaサンプルに基づいている(X¯¯¯¯,Y¯¯¯¯)(X¯,Y¯)(\overline X,\overline Y)。 さて、MLEが通常の1パラメータ指数ファミリーのメンバーであれば、疑いもなくMLEは漸近的に正常であると私は言ったでしょう。1次元のパラメーター（たとえば、N(θ,θ2)N(θ,θ2)N(\theta,\theta^2)分布のように）に対して2次元の十分な統計量があるため、そうではないと思います。 事実を使用していることをXXXとYYY実際の独立した指数変数であり、私がすることができます示しての正確な分布というθはそのようになっていますθ^θ^\hat\theta θ^θ=dF−−√, where F∼F2n,2nθ^θ=dF, where F∼F2n,2n\frac{\hat\theta}{\theta}\stackrel{d}{=} \sqrt F\quad,\text{ where }F\sim F_{2n,2n} ここから限界分布を見つけることはできません。 代わりに、私はそのWLLNで主張することができX¯¯¯¯⟶PθX¯⟶Pθ\overline X\stackrel{P}\longrightarrow\thetaとY¯¯¯¯⟶P1/θY¯⟶P1/θ\overline Y\stackrel{P}\longrightarrow 1/\thetaので、そのθθ^⟶Pθθ^⟶Pθ\hat\theta\stackrel{P}\longrightarrow\theta。 これは、と言われますθ分布の収束をしますθ。以来、しかし、これは、驚きと来ないθはの「良い」推定量ですθ。そして、この結果は√のようなものがθ^θ^\hat\thetaθθ\thetaθ^θ^\hat\thetaθθ\thetan−−√(θ^−θ)n(θ^−θ)\sqrt n(\hat\theta-\theta)で漸近的に正常かではありません。CLTを使用しても妥当な議論を思い付くことはできませんでした。 …