がが無限大に近づくにつれて正規分布に収束するという定理はありますか？

レッツ、定義された平均値との任意の分布で、および標準偏差、。中心極限定理は、 が標準正規分布に分布で収束することを示しています。をサンプル標準偏差で置き換える場合、 がt分布に収束して収束するという定理はあり ますか？大きなため$X$$\mu$$\sigma$

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$t分布が正規分布に近づくと、定理は、存在する場合、制限が標準正規分布であると述べることができます。したがって、t分布はあまり有用ではないように思えますがほぼ正常な場合にのみ有用です。これは事実ですか？ $X$

可能であれば、が置き換えられたときに、このCLTの証明を含む参照を示しますか？そのような参照は、測定理論の概念を使用することができます。しかし、この時点で私にとって何でも素晴らしいことです。$\sigma$$S$

@cardinalのコメントを詳しく説明するために、分布と有限モーメント、平均および標準偏差持つ確率変数からのサイズ iidサンプルを考えます。確率変数を定義する$n$$X$$\mu$$\sigma$

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ 基本的な中心極限定理は、 $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

ここで確率変数考えますここで、は標本標準偏差です。$Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

サンプルはiidであるため、サンプルモーメントは常に母集団のモーメントを推定します。そう

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

@cardinalを入力してください：Slutskyの定理（または補題）は、とりわけ、 であり、は定数です。これは私たちのケースなので

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

スチューデントの分布の有用性については、統計的検定に関連する「従来の使用法」では、サンプルサイズが本当に小さい場合（そして、そのような場合に直面している場合）でも依然として不可欠であることに言及しますが、特にこのようなデータが頻繁に発生するFinance Econometricsのコンテキストで、（条件付き）不等分散性を持つ自己回帰系列のモデルに広く適用されています。