サンプルの算術平均が同じ分布に従うコーシー以外の分布はありますか？

場合次いで、コーシー分布に従う $X$ また、全く同じ分布次、このスレッドを参照してください。 $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

この物件に名前はありますか？
これが当てはまる他のディストリビューションはありますか？

編集

この質問をする別の方法：

せ確率密度を有するランダム変数である。 $X$ $f(x)$

聞かせて、i番目の観測表す。 $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

自体は、特定の値を条件とせずに、確率変数と見なすことができます。 $Y$ $X$

がコーシー分布に従う場合、確率密度関数は $X$ $Y$ $f(x)$

用（非自明*）確率密度関数の他の種類がありでその結果の確率密度関数を有する？ $f(x)$ $Y$ $f(x)$

*私が考えることができる唯一の些細な例は、ディラックのデルタです。つまり、確率変数ではありません。

— Chechy Levas
ソース

「サンプルの期待値」は数値なので、タイトルはほとんど意味がありません。代わりに、サンプルの算術平均 を意味しますか？質問も曖昧です。「分布」とは、特定の分布を意味しますか、それとも「コーシー」という用語で示唆されているように、分布のファミリーを意味しますか？それは多少の微妙なことではありません。答えは、あなたが何を意味するかによって完全に変わります。明確にするために投稿を編集してください。

— whuber

@whuber、私は質問に2番目の部分を追加しました。これにより、考えられる解釈の範囲が狭くなります。

— Chechy Levas 2018

n

$n$

n .

$n.$

n

$n$

n

$n$

これは実際には答えではありませんが、少なくとも安定したディストリビューションからそのような例を作成するのは簡単ではないようです。その平均と同じ特性関数を持つrvを生成する必要があります。

一般に、iidドローの場合、平均のcfは

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— クリストフ・ハンク
ソース

それで、あなたの分析に基づいて、コーシーがa = 1の唯一の解決策であると言うのは公正ですか？

— Chechy Levas

それは、これらの結果からの私の印象ですが、安定したディストリビューションについては、このあたりにもっと詳しい人がいると思います。

— Christoph Hanck、2018

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$