2サンプルのカイ2乗検定

この質問は、ファンデルファールトの本、漸近統計、pg。253.＃3：

その仮定とのパラメータと独立多項ベクターであると。帰無仮説の下であることを示します $\mathbf{X}_m$ $\mathbf{Y}_n$ $(m,a_1,\ldots,a_k)$ $(n,b_1,\ldots,b_k)$ $a_i=b_i$

有する分布。ここで。

Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ {バツ}_{メートル 、 私} - メートル {\hat{c}}_{私} ）^{2}}{メートル {\hat{c}}_{私}} + Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ Y_{ん 、 私} - ん {\hat{c}}_{私} ）^{2}}{ん {\hat{c}}_{私}}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(X_{m,i} - m\hat{c}_i)^2}{m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(Y_{n,i} - n\hat{c}_i)^2}{n\hat{c}_i}$

χ_{k - 1}^{2}

$\chi^2_{k-1}$

{\hat{c}}_{i} = (X_{m, i} + Y_{n, i}) / (m + n)

$\hat{c}_i = (X_{m,i} + Y_{n,i})/(m+n)$

始めるのに助けが必要です。ここの戦略は何ですか？2つの加数を次のように組み合わせることができました。

Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ メートル Y_{ん 、 私} - ん {バツ}_{メートル 、 私} ）^{2}}{メートル ん （ メートル + ん ） {\hat{c}}_{私}}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(mY_{n,i} - nX_{m,i})^2}{mn(m+n)\hat{c}_i}$

ただし、と重み付けされた組み合わせであるため、これはCLTでは機能しません。これが正しいパスかどうかはわかりません。助言がありますか？ $X_m$ $Y_n$

編集：場合、取得するので非常に簡単です $m=n$

\begin{aligned} \frac{メートル Y_{ん} - ん {バツ}_{メートル}}{\sqrt{メートル ん （ メートル + ん ）}} & = \frac{Y_{ん} - {バツ}_{メートル}}{\sqrt{（ メートル + ん ）}} \end{aligned}

$\begin{align*} \dfrac{mY_{n} - nX_{m}}{\sqrt{mn(m+n)}} &= \dfrac{Y_{n} - X_{m}}{\sqrt{(m+n)}} \end{align*}$

ここで、分子は多項式変数の差の合計と見なすことができるため、CLTを適用して、同じ章の定理17.2で終了できます。ただし、このような状況でさまざまなサンプルサイズを使用して問題を解決する方法がわかりません。何か助けは？ $(1,a_1,\ldots,a_k)$

Googleブックスのファンデルファールト17章へのリンク

— bdeonovic
ソース

最初にいくつかの表記法。ましょう及びに関連したカテゴリ配列表す及び、すなわち。LET $\left\{X_t\right\}_{1,\ldots,m}$ $\left\{Y_t\right\}_{1,\ldots,n}$ $\mathbf{X}_m$ $\mathbf{Y}_n$ $\text{Pr}\left\{X_t = i\right\} = a_i, \text{Pr}\left\{Y_t = i\right\} = b_i$ $N=n+m$ 。二値化を考えるここで、クロネッカーのありますデルタ。したがって

\begin{aligned} {バツ}_{私}^{*} & = （ {バツ}_{1 、 私}^{*} 、 \dots 、 {バツ}_{N 、 私}^{*} ） = （ δ_{私 、 {バツ}_{1}} 、 \dots 、 δ_{私 、 {バツ}_{ん}} 、 0 、 \dots 、 0 ） \\ Y_{私}^{*} & = （ Y_{1 、 私}^{*} 、 \dots 、 Y_{N 、 私}^{*} ） = （ 0 、 \dots 、 0 、 δ_{私 、 Y_{1}} 、 \dots 、 δ_{私 、 Y_{ん}} ） \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbf{X}_{i}^* &= (X^*_{1,i},\ldots,X_{N,i}^*) = (\delta_{i,X_1},\ldots,\delta_{i,X_n},0,\ldots,0)\\ \mathbf{Y}_{i}^* &= (Y^*_{1,i},\ldots,Y_{N,i}^*)= (0,\ldots,0,\delta_{i,Y_1},\ldots,\delta_{i,Y_n})\\ \end{align*}$

δ_{i, j} \equiv 1_{i = j}

$\delta_{i,j}\equiv \mathbf{1}_{i=j}$

{バツ}_{メートル 、 私} = Σ_{t = 1}^{N} {バツ}_{t 、 私}^{*} = Σ_{t = 1}^{メートル} δ_{私 、 {バツ}_{t}} Y_{ん 、 私} = Σ_{t = 1}^{N} Y_{t 、 私}^{*} = Σ_{t = 1}^{ん} δ_{私 、 Y_{t}}

$X_{m,i} = \sum_{t=1}^{N} X_{t,i}^* = \sum_{t=1}^m \delta_{i,X_t} \qquad Y_{n,i} = \sum_{t=1}^{N} Y_{t,i}^* = \sum_{t=1}^n \delta_{i,Y_t}$

さあ、証明を始めましょう。まず、検定統計量の2つの加数を結合します。なお、したがって、検定統計量を書くことができます。

\begin{aligned} {バツ}_{メートル 、 私} - メートル {\hat{c}}_{私} & = \frac{（ ん + メートル ） {バツ}_{メートル 、 私} - メートル （ {バツ}_{メートル 、 私} + Y_{ん 、 私} ）}{ん + メートル} \\ = \frac{ん {バツ}_{メートル 、 私} - メートル Y_{ん 、 私}}{ん + メートル} \\ Y_{ん 、 私} - ん {\hat{c}}_{私} & = \frac{（ ん + メートル ） Y_{ん 、 私} - ん （ {バツ}_{メートル 、 私} + Y_{ん 、 私} ）}{ん + メートル} \\ = \frac{メートル Y_{ん 、 私} - ん {バツ}_{メートル 、 私}}{ん + メートル} \end{aligned}

$\begin{align*} X_{m,i} - m\hat{c}_i &= \dfrac{(n+m)X_{m,i} - m(X_{m,i} + Y_{n,i})}{n+m}\\ &= \dfrac{nX_{m,i} - mY_{n,i}}{n+m}\\ Y_{n,i} - n\hat{c}_i &= \dfrac{(n+m)Y_{n,i} - n(X_{m,i} + Y_{n,i})}{n+m}\\ &= \dfrac{mY_{n,i} - nX_{m,i}}{n+m} \end{align*}$

\begin{aligned} S & = Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ {バツ}_{メートル 、 私} - メートル {\hat{c}}_{私} ）^{2}}{メートル {\hat{c}}_{私}} + Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ Y_{ん 、 私} - ん {\hat{c}}_{私} ）^{2}}{ん {\hat{c}}_{私}} \\ = Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ ん {バツ}_{メートル 、 私} - メートル Y_{ん 、 私} ）^{2}}{（ ん + メートル ）^{2} メートル {\hat{c}}_{私}} + Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ ん {バツ}_{メートル 、 私} - メートル Y_{ん 、 私} ）^{2}}{（ ん + メートル ）^{2} ん {\hat{c}}_{私}} \\ = Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ ん {バツ}_{メートル 、 私} - メートル Y_{ん 、 私} ）^{2}}{ん メートル （ ん + メートル ） {\hat{c}}_{私}} \end{aligned}

$\begin{align*} S &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(X_{m,i} - m\hat{c}_i)^2}{m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(Y_{n,i} - n\hat{c}_i)^2}{n\hat{c}_i}\\ &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{(n+m)^2m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{(n+m)^2n\hat{c}_i}\\ &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{nm(n+m)\hat{c}_i} \end{align*}$

ん {バツ}_{メートル 、 私} - メートル Y_{ん 、 私} = Σ_{t = 1}^{N} ん {バツ}_{t 、 私}^{*} - メートル Y_{t 、 私}^{*} = Z_{私}

$nX_{m,i} - mY_{n,i} = \sum_{t=1}^N nX_{t,i}^* - mY_{t,i}^* = Z_{i}$

\begin{aligned} E [Z_{私}] & = ん E [{バツ}_{メートル 、 私}] - メートル E [Y_{ん 、 私}] \\ = ん メートル a_{私} - ん メートル a_{私} = 0 \\ Var [Z_{私}] & = Var [ん {バツ}_{メートル 、 私} - メートル Y_{ん 、 私}] \\ = ん^{2} Var [{バツ}_{メートル 、 私}] - {メートル}^{2} Var [Y_{ん 、 私}] 注意 {バツ}_{メートル 、 私} そして Y_{ん 、 私} 独立している \\ = ん^{2} メートル a_{私} （ 1 - a_{私} ） + {メートル}^{2} ん a_{私} （ 1 - a_{私} ） \\ = ん メートル （ ん + メートル ） a_{私} （ 1 - a_{私} ） \\ Cov [Z_{私} 、 Z_{j}] & = E [Z_{私} Z_{j}] - E [Z_{私}] E [Z_{j}] \\ = E [（ ん {バツ}_{メートル 、 私} - メートル Y_{ん 、 私} ） （ ん {バツ}_{メートル 、 j} - メートル Y_{ん 、 j} ）] \\ = ん^{2} （ - メートル a_{私} a_{j} + {メートル}^{2} a_{私} a_{j} ） - 2 ん^{2} {メートル}^{2} a_{私} a_{j} + {メートル}^{2} （ - ん a_{私} a_{j} + ん^{2} a_{私} a_{j} ） \\ = - ん メートル （ ん + メートル ） a_{私} a_{j} \end{aligned}

$\begin{align*} \text{E}[Z_{i}] &= n\text{E}[X_{m,i}] - m\text{E}[Y_{n,i}]\\ &= nma_i - nma_i = 0\\ \text{Var}[Z_{i}] &= \text{Var}[nX_{m,i} - mY_{n,i}]\\ &= n^2\text{Var}[X_{m,i}] - m^2\text{Var}[Y_{n,i}] \qquad\text{Note $X_{m,i}$ and $Y_{n,i}$ are independent}\\ &= n^2ma_i(1-a_i) + m^2na_i(1-a_i)\\ &= nm(n+m)a_i(1-a_i)\\ \text{Cov}[Z_{i},Z_{j}] &= \text{E}[Z_{i}Z_{j}] - \text{E}[Z_{i}]\text{E}[Z_{j}]\\ &= \text{E}[(nX_{m,i} - mY_{n,i})(nX_{m,j} - mY_{n,j})]\\ &= n^2(-ma_ia_j + m^2a_ia_j) - 2n^2m^2a_ia_j + m^2(-na_ia_j+n^2a_ia_j)\\ &= -nm(n+m)a_ia_j \end{align*}$

\frac{1}{\sqrt{ん メートル （ ん + メートル ）}} Z = \frac{ん {バツ}_{メートル} - メートル Y_{ん}}{\sqrt{ん メートル （ ん + メートル ）}} \overset{D}{\to} N （ 0 、 Σ ）

$\dfrac{1}{\sqrt{nm(n+m)}}\mathbf{Z} = \dfrac{n\mathbf{X}_m - m \mathbf{Y}_n}{\sqrt{nm(n+m)}}\overset{D}{\to} \text{N}(\mathbf{0},\Sigma)$

(i, j)

$(i,j)$

Σ

$\Sigma$

σ_{i j} = a_{i} (δ_{i j} - a_{j})

$\sigma_{ij} = a_i(\delta_{ij} - a_j)$

\hat{c} = ({\hat{c}}_{1}, \dots, {\hat{c}}_{k}) \overset{p}{\to} (a_{1}, \dots, a_{k}) = a

$\hat{\mathbf{c}} = (\hat{c}_1,\ldots,\hat{c}_k) \overset{p}{\to} (a_1,\ldots,a_k)=\mathbf{a}$

\frac{ん {バツ}_{メートル} - メートル Y_{ん}}{\sqrt{ん メートル （ ん + メートル ）} \hat{c}} \overset{D}{\to} N （ 0 、 私_{k} - \sqrt{a} {\sqrt{a}}^{』} ）

$\dfrac{n\mathbf{X}_m - m \mathbf{Y}_n}{\sqrt{nm(n+m)}\hat{\mathbf{c}}}\overset{D}{\to} \text{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_k - \sqrt{\mathbf{a}}\sqrt{\mathbf{a}}')$

I_{k}

$\mathbf{I}_k$

k \times k

$k\times k$

\sqrt{a} = (\sqrt{a_{1}}, \dots, \sqrt{a_{k}})

$\sqrt{\mathbf{a}} = (\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_k})$

I_{k} - \sqrt{a} {\sqrt{a}}^{'}

$\mathbf{I}_k - \sqrt{\mathbf{a}}\sqrt{\mathbf{a}}'$

k - 1

$k-1$

Σ_{私 = 1}^{k} \frac{（ ん {バツ}_{メートル 、 私} - メートル Y_{ん 、 私} ）^{2}}{ん メートル （ ん + メートル ） {\hat{c}}_{私}} \overset{D}{\to} χ_{k - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{nm(n+m)\hat{c}_i} \overset{D}{\to} \chi^2_{k-1}$

— bdeonovic
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