最大項の数

考えてみましょうここで、はiidで、CLTが保持されます。どれだけ多くの最大の用語を合計すると、合計の半分になりますか？たとえば、10 + 9 + （10 + 9 + 8 + 1）/ 2：用語の30％が合計の約半分に達します。 $\sum_{i=1}^N |X_i|$ $X_1, \ldots, X_N$

$\approx$ $\dots$

定義する
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

halfsum（）の一般的な漸近的な結果はありますか？シンプルで直感的な派生がいいでしょう。 $N, \mu, \sigma$

（A少しモンテカルロはその時々 halfsum（示唆） / 4程度、最大の1/4である 1/2合計と一致しが私は0.24得る halfnormalため、0.19 ため指数関数、 = 20、50、100の場合。） $N$ $\approx N$
$X_i$
$N$ $N$ $N$

central-limit-theorem asymptotics

— デニス
ソース

CLTのような普遍的な結果を期待しないでください。たとえば、uniform（0,1）変量の回答は、uniform（1000,1001）変量の回答とは大きく異なります。

— whuber

もちろん、ハーフサムは平均値と標準偏差に依存します。しかし、なぜ〜指数関数のN / 5なのか？

— denis

漸近的に、デニス、halfsumのカットオフ値になり

れる

用のPDFであります

; 質問は

求めます（

は

累積分布関数です）。均一の場合には

x

$x$

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 1 / 2

$\int_0^x t f(t)dt = 1/2$

f

$f$

| X_{i} |

$|X_i|$

N (1 - F (x))

$N(1-F(x))$

F

$F$

| X_{i} |

$|X_i|$

[0, 1]

$[0,1]$ あなたは@Dilipの答えを得ます; 指数のために、

。

x \approx 0.186682 N \approx N / 5

$x\approx 0.186682 N \approx N/5$

— whuber

回答:

いいえ、一般的な漸近的な結果はありません。ましょ注文するどこ、最大です。 $x_{[1]} \dots x_{[N]}$ $x_i$ $x_{[1]}$

次の2つの例を検討してください。

1）。明らかにCLTは成り立っています。あなたが唯一必要なのための観測を $P(x=0) = 1$ $M=1$ 。 $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

$P(x=1) = 1$ $M=\lceil N/2\rceil$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

自明ではない例として、ベルヌーイ分布：

$P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$ $\lceil pN/2\rceil$ $p$

— jbowman
ソース

0

$0$

N / 2

$N/2$

x [i]

$x[i]$

$X_i$ $[0,1]$ $\sum_i X_i$ $N/2$ $N/2$ $X$ $N/4$ $N$ $N$ $U[0,1]$ $0$ $1$ $x$ $0 < x < 1$ $(1-x)N$ $x$ $1$ $(1+x)/2$ $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$ $N/4$ $x \leq 1/\sqrt{2}$ $(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$ $N/4$

$\sum_i X_i = Y$ $Y$ $x$ $(1-x^2)N/2 = Y/2$ $Y$ $N/2$ $N/12$ $Y$ $x = \sqrt{1-(Y/N)}$ $Y$ $Y=0$ $Y=N$

— ディリップ・サルワテ
ソース

(0, 1)

$(0,1)$

1

$1$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n + 1}

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n+1}$

Y_{max} = α

$Y_{\max} = \alpha$

Y_{(1)}, Y_{(2)}, \dots, Y_{(n)}

$Y_{(1)}, Y_{(2)}, \ldots, Y_{(n)}$

(0, α)

$(0, \alpha)$

いずれにせよ、私の議論では、一様分布からの順序付けられたサンプル間の距離を使用しません。

— Dilip Sarwate、2011

あなたは正しい、私はあなたを誤解しました。副次的な質問として、スケーリング後に均一ランダムポイント間のピースが指数的に分布していませんか？q + aの逆ですか？[Wolframデモンストレーションプロジェクトのブロークンスティックルール]（デモンストレーション .wolfram.com / BrokenStickRule ）は指数関数的に見えますが、簡単なはずです。証明。

— denis

別の質問としてサイド質問をしてください。

— Dilip Sarwate、2011

開始し、次に確率分布のフラグメント長を見て、そこにコメントできます。

— denis

絶対値を取り除くために、Xに正の値しかないとしましょう。

正確な証明がなければ、kを解かなければならない

$(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$

$n(1-F_X(k))$

私の論理は、kより大きいすべての値の総和は約

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

そして、非対称的に合計の半分は約です

$\frac{1}{2}nE(X)$

$[0,1]$ $F(k)=k$ $k=\sqrt(\frac{1}{2})$

— エリック
ソース