iid確率変数の和の平方根の中心極限定理

math.stackexchangeでの質問に興味をそそられ、それを経験的に調査すると、iid確率変数の和の平方根に関する次のステートメントについて疑問に思っています。

仮定有限の非ゼロのiid確率変数平均値である、分散、および。中心極限定理は述べています $X_1, X_2, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$ $\displaystyle Y=\sum_{i=1}^n X_i$ としてが増加します。 $\displaystyle \dfrac{Y - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$ $n$

場合、私はまた、のような何かを言うことができ $Z=\sqrt{|Y|}$ としてが増加？ $\displaystyle \dfrac{Z - \sqrt{n |\mu|-\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}{\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{4|\mu|}}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$ $n$

たとえば、が平均と分散ベルヌーイであるとすると、は二項式であり、これをRでシミュレートできます（ $X_i$ $p$ $p(1-p)$ $Y$ ： $p=\frac13$

set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))

これにより、期待される平均と分散がほぼ得られます。 $Z$

> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667

ガウスに近いQQプロット

qqnorm(Z)

normal-distribution central-limit-theorem sum

— ヘンリー
ソース

X_{i}

$X_i$

n

$n$

n

$n$

これの当然の結果は、適切にスケーリングされた（掛けた）iid確率変数の二乗平均平方根（または二次平均）です。

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

4

$4$

ほんの短いコメント：この主張はデルタ法の特別なケースです。Casella＆Bergerの著書「Statistical inference」の定理5.5.24を参照してください。

— マイケルM

Y

$Y$

R

$\mathbb R$

g (y) = \sqrt{| y |}

$g(y) = \sqrt{|y|}$

（前述のヒューリスティックを完全に厳密にするために、Deltaメソッドの証明を上記と同様のケースに適用できると思います。）

— 枢機卿

ガウスへの収束は確かに一般的な現象です。

$X_1,X_2,X_3,...$ $\mu\gt 0$ $\sigma^2$ $Y_n=\sum_{i=1}^n X_i$ $\alpha$ $P(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha)\to\Phi(\alpha)$ $n\to\infty$ $\Phi$

P (\frac{Y_{n} - n μ}{σ \sqrt{n}} \leq α + \frac{α^{2} σ^{2}}{4 μ σ \sqrt{n}}) \to Φ (α)

$P\Big(\frac{Y_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}\leq \alpha+\frac{\alpha^2 \sigma^2}{4\mu\sigma\sqrt n}\Big)\to\Phi(\alpha)$

P (Y_{n} \leq (\frac{α σ}{2 \sqrt{μ}} + \sqrt{n μ})^{2}) \to Φ (α)

$P\Big(Y_n\leq (\frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu})^2\Big)\to\Phi(\alpha)$

$\mu\gt 0$ $P(Y_n\lt 0)\to 0$

P (\sqrt{| Y_{n} |} \leq \frac{α σ}{2 \sqrt{μ}} + \sqrt{n μ}) \to Φ (α)

$P\Big(\sqrt{|Y_n|}\leq \frac{\alpha\sigma}{2\sqrt \mu}+\sqrt{n\mu}\Big)\to\Phi(\alpha)$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ}}{σ / 2 \sqrt{μ}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$

n \to \infty

$n\to\infty$

$\sqrt{n\mu}$ $E[\sqrt{|Y_n|}]$ $n$ $E[\sqrt{Y_n}]=\sqrt{E[Y_n]-\text{Var}(\sqrt{Y_n})}$ $E[Y_n]=n\mu$ $\text{Var}(\sqrt{Y_n})\approx \frac{\sigma^2}{4\mu}$ $E[\sqrt{|Y_n|}]\approx\sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}}{σ / 2 \sqrt{μ}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}\xrightarrow{d}N(0,1)$

\sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}} - \sqrt{n μ} \to 0

$\sqrt{n\mu-\frac{\sigma^2}{4\mu}}-\sqrt{n\mu}\to 0$

n \to \infty

$n\to\infty$

— S.キャタロールがモニカを回復させる
ソース

\sqrt{n μ} - \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}} \to 0

$\sqrt{n \mu}-\sqrt{n \mu-\tfrac{\sigma^2}{4\mu}} \to 0$

n \to \infty

${n \to \infty}$

@ヘンリーあなたはを置き換えることができます

\sqrt{n μ}

$\sqrt{n\mu}$

\sqrt{n μ - k}

$\sqrt{n\mu-k}$

k

$k$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ - k}}{σ / 2 \sqrt{μ}}

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu-k}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}$

N (0, 1)

$N(0,1)$

n

$n$

\sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}

$\sqrt{n \mu-\tfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

Var (Z) = E [Z^{2}] - (E [Z])^{2}

$\text{Var}(Z)=E[Z^2]-(E[Z])^2$

E [Z] = \sqrt{E [Z^{2}] - Var (Z)}

$E[Z]=\sqrt{E[Z^2]-\text{Var}(Z)}$

E [Z^{2}] = E [Y] = n μ

$E[Z^2]=E[Y]=n\mu$

\frac{\sqrt{| Y_{n} |} - \sqrt{n μ}}{σ / 2 \sqrt{μ}}

$\frac{\sqrt{|Y_n|}-\sqrt{n\mu}}{\sigma/{2\sqrt\mu}}$

Var (Z) \approx \frac{σ^{2}}{4 μ}

$\text{Var}(Z) \approx \dfrac{\sigma^2}{4\mu}$

E [Z] \approx \sqrt{n μ - \frac{σ^{2}}{4 μ}}

$E[Z] \approx \sqrt{n\mu- \dfrac{\sigma^2}{4\mu}}$

わかりました、ありがとう、私は今私の答えでこれをカバーしようとしました。

— S.キャタロールがモニカを復活させる2016