ラインサーチで3次と2次の内挿を決定するのに役立ちます
準ニュートンBFGSアルゴリズムの一部としてラインサーチを実行しています。ラインサーチの1つのステップで、3次補間を使用して、ローカルミニマイザーに近づけます。 してみましょうf:R→R,f∈C1f:R→R,f∈C1f : R \rightarrow R, f \in C^1関心の関数です。f ′（x ∗）≈0となるようなを見つけたい。x∗x∗x^*f′(x∗)≈0f′(x∗)≈0f'(x^*) \approx 0 ましょうf(xk)f(xk)f(x_k)、f′(xk)f′(xk)f'(x_k)、f(xk+1)f(xk+1)f(x_{k+1})とf′(xk+1)f′(xk+1)f'(x_{k+1})知られています。また、想定0≤xk<x∗<xk+10≤xk<x∗<xk+10\le x_k<x^*<x_{k+1}。三次多項式Q(x)=ax3+bx2+cx+dQ(x)=ax3+bx2+cx+dQ(x)=ax^3+bx^2+cx+dので、Q(0)=f(xk)Q(0)=f(xk)Q(0)=f(x_k)、Q′(0)=f′(xk)Q′(0)=f′(xk)Q'(0)=f'(x_k)、Q(xk+1−xk)=f(xk+1)Q(xk+1−xk)=f(xk+1)Q(x_{k+1}-x_{k})=f(x_{k+1})と。Q′(xk+1−xk)=f′(xk+1)Q′(xk+1−xk)=f′(xk+1)Q'(x_{k+1}-x_{k})=f'(x_{k+1}) 私は二次方程式を解きます：は、閉形式の解を使用して、求めたx ∗ に対してです。(1):Q′(x∗−xk)=0(1):Q′(x∗−xk)=0(1): Q'(x^*-x_k) = 0x∗x∗x^* 上記は、が（1 ）の閉じた形の解をaで割るaで除算する場合を除いて、ほとんどの場合にうまく機能します。f(x)=O(x2)f(x)=O(x2)f(x)=\mathcal{O}(x^2)(1)(1)(1)aaa000 私の解決策を見ていると、それは「小さすぎる」であれば、単純に二次多項式の最小化のための閉じた形のソリューション取るQ 2（X ）= B のx 2 + C X + D私はすでに係数の持っているBを、C 、Dへの以前のフィットからQ （X ）。aaaQ2(x)=bx2+cx+dQ2(x)=bx2+cx+dQ_2(x)=bx^2+cx+db,c,db,c,db,c,dQ(x)Q(x)Q(x) 私の質問は次のとおりです。立方体に対して2次補間を行うタイミングを調べるにはどうすればよいでしょうか。以下のためのテストへの単純なアプローチ≡ 0は私が探していますので、数値的な理由による悪いです| a | < ε τどこεはマシンの精度ですが、私は良いのかを決定することができないんだτの規模不変だFを。a≡0a≡0a \equiv 0|a|<ϵτ|a|<ϵτ|a| < \epsilon\tauϵϵ\epsilonττ\taufff おまけの質問：失敗した3次近似からの係数使用に数値的な問題はありますか、または係数を計算する適切な方法で新しい2次近似を実行する必要がありますか？b,c,db,c,db,c,d 明確化のための編集： …