有限要素法と拡張有限要素法（FEMとXFEM）

FEMとXFEMの主な違いは何ですか？いつFEMの代わりにXFEMを使用する（使用しない）必要がありますか？言い換えれば、新しい問題に遭遇したとき、どのようにしてそれらのどれを使用するかを知ることができますか？

有限要素法（FEM）は、実際にはFEMであるが、そうではないふりをする他の多くの方法や方法に影響を与えた親の方法です。

有限要素法では、「形状関数」を使用して近似空間を提供し、解をベクトルで表すことができます。従来のFEMでは、これらの形状関数は多項式です。

拡張有限要素法（XFEM）では、多項式形状関数に加えて、追加の「エンリッチメント」関数を使用して解を近似します。これらの強化関数は、ソリューションが従うことが知られている特性を持つように選択されます。

最も明白なXFEMエンリッチメント関数は、解の勾配の特異点（つまり、固体力学問題の応力の特異点）を表すために亀裂の鋭い角に導入されたパワー関数です。XFEMは、他のエンリッチメント機能や他のソリューションドメイン（特に熱伝達）に使用できますが、この名前は破壊解析と同義です。

さまざまな方法の違い（このXFEMかどうかなど）は、トリッキーで微妙で重要ではありません。

どちらを使用するかについては、XFEMはほとんど実用的ではないと考えています。実際の有限要素コード、特にAbaqusには少数のアプリケーションがありますが、広く受け入れられることはありません。

ほとんどすべての実用的な問題に対して、古典的なFEMが使用されます。ほとんどの破壊解析問題では、亀裂先端の領域で適切なメッシュ細分割および/またはp細分割を使用して、従来のFEMを引き続き使用できます。他の、それほど厳密ではない骨折モデルを使用することもできます。

どちらのマイクの答えとジェドの1は、アプリケーションの最も重要な領域は、あなたのドメイン内部の表面を横切って亀裂、すなわちAの変位不連続性を持つ3D破壊力学、であることを指摘してもXFEM / FEMの二分法、正しく記述します。

クラックは、次の2つの理由により、古典的なFEMでモデル化するのが困難です。

1. メッシュは亀裂全体で合同でなければなりません。より正確には、亀裂はFEのサブドメインの境界にある必要があります。亀裂は有限要素の内部に配置（通過）することはできません。

2. 亀裂先端の特異な応力場では、特別な要素やメッシュ手法（四分の一点要素、集中メッシュ）を正確にモデル化する必要があります。

破壊力学の工学的観点から見ると、主に2つのタイプの問題があります。

1. 応力拡大係数の計算、

2. 亀裂伝播解析、例えば、疲労または損傷許容解析。

最初のタイプの問題では、古典的なFEMは十分すぎるほどであり、標準のエンジニアリングツールです。（これは、幸いにも、亀裂先端付近の数値誤差に敏感ではない応力拡大係数を評価するエネルギー法があるためです。）

亀裂伝播解析はまったく別の話です。ほとんどの場合、亀裂経路を事前に知らないため、頻繁な再メッシュが必要です。XFEMの主な約束は、固定 FEMメッシュ内の亀裂伝播を可能にすることです。亀裂は、サブドメイン間の境界だけでなく、FE自体の内部でも道を切り開きます。

XFEMは比較的新しい手法であり、標準のエンジニアリングツールとは言えません。OPの質問に対する私の答えは、少なくとも固体力学とエンジニアリングの分析では、XFEMは、亀裂経路を事前に推定できない場合に、複雑な3D形状の亀裂および損傷伝播解析において非常に狭く専門的なアプリケーション分野を持っているということです。

それにもかかわらず、破壊力学は工学において非常に重要な分野であることを強調しておきます。たとえば、メンテナンス間隔の間の損傷と亀裂伝播を数値的に予測できるため、今日の飛行機は安全です。XFEM、または同様の新しい手法は、近い将来に重要なツールになるでしょう。

FEMはXFEMのサブセットです。XFEMは、有限要素空間を拡張して不連続性の問題（破壊など）を処理するための方法論です。従来のFEMでは、同様の精度を実現するには、通常、複雑なコンフォーマルメッシュとアダプティブリファインが必要です。XFEMが単一のメッシュで行う場合と同様に、その幾何学的な複雑さを要素に移動します（XFEMは、特に3Dでの実装が非常に複雑です）。一方、XFEMは、直接ソルバーまたは非常に特殊化されたマルチグリッド法（Gerstenberger and Tuminaro（2012）など）を必要とする非常に悪条件の行列になります。