以下のための反復「ソルバー」

私が次の問題について最初に考えるとは思えないので、リファレンスで満足します（ただし、完全で詳細な回答は常に高く評価されます）。

あなたは対称正定持っていると言う。は非常に大きいと考えられるため、をメモリに保持することは不可能です。ただし、評価することができます任意のため、。与えられたいくつか、あなたが検索したい。 $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $n$ $\Sigma$ $\Sigma x$ $x \in \mathbb{R}^{n}$ $x \in \mathbb{R}^{n}$ $x^t\Sigma^{-1}x$

心に来る最初の解決策は見つけることです（例えば）共役勾配を使用しました。ただし、これは多少無駄が多いようです。スカラーを探すと、巨大なベクトルが見つかります。（つまり、通過せずに直接スカラーを計算する方法を考え出すために、より理にかなっているようだ）。このような方法を探しています。 $\Sigma^{-1}x$ $\mathbb{R}^{n}$ $\Sigma^{-1}x$

linear-algebra numerical-analysis iterative-method

— イエール・ダオン
ソース

あなたの行列は、いくつかの "短くて広い"長方形

から生じますか？

Σ = A^{T} A

$\Sigma = A^TA$

A

$A$

— GeoMatt22、2015年

@ GeoMatt22残念ながらできません。しかし、そうだとしましょう-その場合、あなたは何を提案しますか？

— Yair Daon、2015年

うん、私はいくつかの小さなマトリックスがあるかどうか考えていました...とにかくそれが役立つかどうかはわかりません。「マトリックスフリーマハラノビス距離」などをグーグルで試しましたか？助けにならないでごめんなさい！

— GeoMatt22、2015年

@ GeoMatt22のおかげで、オンラインで何かを見つけることができませんでした。

— Yair Daon、2015年

$y=\Sigma^{-1}x$

$\Sigma$ $\lambda_i,v_i$ $\Sigma=V^T L V$ $V$ $v_i$ $L$ $\Sigma^{-1}=V^T L^{-1} V$

x^{T} Σ^{- 1} x = x^{T} V^{T} L^{- 1} V x = \sum_{i} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} .

$x^T \Sigma^{-1} x = x^T V^T L^{-1} V x = \sum_i \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2.$

V

$V$

Σ

$\Sigma$

m

$m$

λ_{i}^{- 1}

$\lambda^{-1}_i$

i > m

$i>m$

x^{T} Σ^{- 1} x = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} \approx \sum_{i = 1}^{m} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} .

$x^T \Sigma^{-1} x = \sum_{i=1}^n \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2 \approx \sum_{i=1}^m \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2.$

m

$m$

n

$n$

$y=\Sigma^{-1}x$

— ヴォルフガングバンガース
ソース

m

$m$

x^{T} Σ^{- 1} x

$x^T\Sigma^{-1}x$

次に、方法を提案できますか？

— Yair Daon、2015年

固有値ソルバーはたくさんありますか、まばらです。ARPACKとPETScベースのSLEPcは、おそらく最も広く使用されているものです。

— Wolfgang Bangerth、2015年

m

$m$

n \times n

$n \times n$