有限要素による特異摂動反応拡散問題の振動

ときは、FEM-離散化と反応拡散問題を解決する、例えば用いて（特異摂動）、離散問題の解決策は、典型的に近い境界に振動層を示すであろう。、と線形有限要素、溶液ルックス等

- ε △ あなたは + あなたは = 1 オン Ω あなたは = 0 オン \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

特異摂動問題の解

対流によって引き起こされるような望ましくない効果（風上離散化など）に関する多くの文献がありますが、反応に関しては、人々は洗練されたメッシュ（Shishkin、Bakhvalov）に集中しているようです。

そのような振動を回避する、つまり単調性を保持する離散化はありますか？このコンテキストでは他に何が役立つでしょうか？

— ニコ・シュレーマー
ソース

中央差分スキームは、Mマトリックスにつながるため、単調性を保持していませんか？

— ホイ張

@HuiZhang残念ながらそうではありません。有限要素のため、反応寄与

正非対角エントリを生成します。

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

— ニコ・シュレーマー

@HuiZhangもちろん、差分が有限の場合（および、有限のボリュームの場合も）です。私は、有限要素に興味があることをより明確に述べるために答えを適合させます。

— ニコ・シュレーマー

不連続なガラーキン法は、このような問題で非常に人気があります。DiPietroとErnの本をご覧になりましたか？

— クリスチャンクラソン

回答:

示す場合、ソリューションには境界層があります。メッシュが粗すぎるために解決できない場合、すべての実用的な問題について、ソリューションは数値スキームに対して不連続です。

さて、この問題に標準の離散化を適用するだけの場合、離散解は、線形投影演算子を正確な解に適用し、有限次元空間に投影した結果です。これは、たとえば、最初の $N$ フーリエ級数の項を。しかし、不連続関数に適用すると何が起こるかはわかっています。オーバーショットとアンダーショットでギブズ現象が発生します。ここでの状況は実際に変わりはなく、どの線形スキームでも発生します。

この問題を回避するには、基本的に次の2つの方法があります。（i）人工拡散を追加します。つまり、メッシュサイズに比例する拡散項を追加します。これにより、境界層のサイズがメッシュで表現できる幅まで増加しますが、としてに戻り。（ii）非線形投影スキームを使用します。双曲線の文献には、そのようなスキームがいくつもあります。たとえば、衝撃の捕捉、勾配の制限などです。 $\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— ウルフギャング・バンガース
ソース

TL; DR：選択肢は限られています1）正確で高価なソリューションに適応するブルートフォースになります2）精度の低いが安定したソリューションに数値拡散を使用するか（私のお気に入り）3）これが特異摂動問題であるという事実を活用して解決する2つの安価な内部/外部の問題を解決し、一致する漸近線に魔法をかける！

本当に問題の均一な数値解を取得する必要がある場合、適応メッシュの改良以外にできることはほとんどありません。厚さ境界層を発達させる特異摂動問題に直面している $\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$ 境界付近。この境界層は、内部ソリューションと外部ソリューションを分離します。

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- △ {あなたは}_{私} + {あなたは}_{私} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ 内部ソリューションを簡単に-この場合は分析的にも。

これは、実際には、流体力学における層流境界層の問題を解決するために非常に一般的だった（そして今でも）その技術です。実際、高いレイノルズ数でナビエ・ストークス方程式を見ると、ここで言及したような境界層を作成する特異な摂動問題に効果的に直面しています（楽しい事実：摂動における「境界層」という用語分析は、実際には、先ほど説明した流体境界層の問題に基づいています）。

$u_0 = 1$

— GradGuy
ソース