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私には2つの逆問題があります、 あ1 x = b1あ2 x = b2あ1 バツ=b1あ2 バツ=b2A_1 ~ x = b_1 \qquad A_2 ~ x = b_2 これまでのところ、Tikhonov正則化を使用してそれらを個別に解決し、 2つの推定値を取得していバツバツxます。ただし、私の場合、バツバツxは両方の方程式で同じ解を表します。「同時に」解決することは可能ですか？理想的には私は答えを見つけるでしょう 分（ ∥ A1x − b1∥2+ ∥ A2x − b2∥2+ ∥ Γ X ∥2）分（‖あ1バツ−b1‖2+‖あ2バツ−b2‖2+‖Γバツ‖2）\min \left( \lVert A_1 x - b_1 \rVert^2 + \lVert A_2 x - b_2 \rVert^2 + …

8 linear-algebra  numerical-analysis  inverse-problem 

簡単に言えば、FEMで使用されるさまざまなタイプの基底は何ですか？なぜ、節の基底は有限要素のコンテキストでそれほど人気が​​あり、有利であるのですか？

8 finite-element  numerical-analysis  basis-set 

ある場合には(n+1)(n+1)(n+1)の形の次元積分は 通常1は、ドメイン全体にわたって多次元統合ライブラリを使用してこれを評価するであろう [ 0 、1 ] のn + 1。∫[0,1]n+1f(x,y)dnxdy,∫[0,1]n+1f(x,y)dnxdy, \int_{[0,1]^{n+1}} f(x, y)\,\mathrm{d}^n x \,\mathrm{d}y,[0,1]n+1[0,1]n+1[0,1]^{n+1} しかし、1次元の求積法を使用して積分を個別に実行し、多次元積分ライブラリを使用して他のn座標で被積分関数を評価することが理にかなっている条件はありますか？ ∫ [ 0 、1 ] nは G （X ）yyynnn∫[0,1]ng(x)dnx,g(x)=∫10f(x,y)dy.∫[0,1]ng(x)dnx,g(x)=∫01f(x,y)dy. \int_{[0,1]^n}g(x)\,\mathrm{d}^nx, \qquad g(x) = \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y. これは、たとえば、がyの関数として特に滑らかであるがxの関数としては滑らかでない場合に意味があります。しかし、この場合、正確にどれほどスムーズでなければならないのでしょうか。1-d求積法の評価点が多すぎると「無駄」になるため、ほとんど意味がないと思いますが、これが常に当てはまるとは思いません。これは、高次元の統合方法の設計によって保証されますか？fffyyyxxx 自分の場合、ブラックボックスであるが、に区分平滑Y、およびキンクの未知量を有しにジャンプX未知の位置で、かつnは極めて高い（N ≥ 4）の積分にxが有しています特に多くの次元のために何かを行うために。yの積分は、のような通常の方法で実行できます。この例では、関数はyで十分滑らかであり、ほとんど機能しているように見えますが、繰り返しの積分は最終的に30倍遅くなるため、アプローチが誤っているのではないかと思います。fffyyyxxxnnnn≥4n≥4n\geq 4xxxyyyquadgkyyy これが文献のどこですでに議論されているかを知っているなら、それも役に立ちます。 例。 （これが簡単ではない理由です）私が本当に興味を持っているものとは異なり、非常に滑らかな「簡単な」積分を考えてみましょう： 被積分関数で ナイーブ n次元モンテカルロを実行するか、または積分された被積分関数でナイーブ（n − 1 ）次元モンテカルロを x 1について一度積分すると、 g （x 2 ：n）= …

8 numerical-analysis  reference-request  quadrature  integration 

たとえば、テイラー級数を使用してスキームの精度の順序を見つけるときに必要な代数を簡略化するためにブッチャーテーブルを使用する方法を理解するために、プライマリソースに移動しようとしました。 しかし、関連する背景が不足しているためか、ブッチャーの本のブッチャーテーブルを利用する方法を理解するのは特に難しいと思いました。 ブッチャーテーブルを利用するために必要な数学をカバーする、比較的自己完結型の優れた（つまり、最低限必要な条件の）本やチュートリアルはありますか？

8 numerical-analysis  reference-request  runge-kutta 

条件番号に関してかなり具体的な質問があります。複数の長さスケールを持つFEMシミュレーションを実行すると、マトリックス内の最大のエントリと最小のエントリの間に大きな差異が生じます。条件番号は、状況によっては10 ^ 15にもなることがあります。 数値解析では、直接法を使用して計算されたソリューションのエラーに適用されるため、条件番号のエラー限界をよく見ます。私の好奇心は、このロジックがCGのような反復型ソルバーやGMRESのエラーにも当てはまるかどうかです。収束率は行列の固有値の影響を受けることは知っています。このタイプの問題を実行すると、速度が大幅に低下することに気づきます。しかし、その正確さについては不明です。任意の助けいただければ幸いです。

8 linear-algebra  numerical-analysis  linear-solver 

の形式の初期値問題があるとします whereは正確に（つまり無制限の精度で）既知であり、を効率的に評価できますを任意の精度に。つまり、ベクトルと整数与えられると、正しいことが保証された近似値を返すブラックボックスがあります。の時間多項式の桁。の近似値を取得するための実用的な方法があるかどうか知りたいX 0 ∈ R N F ：R N → R nはX ∈ R nは M 、F （X）M M X（TとF）d xDトン= f（x）x（0）= x0dxdt=f(x)x(0)=x0 \frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t} = f(\mathbf{x}) \qquad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0 バツ0∈ Rんx0∈Rn\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^nf：Rん→ Rんf:Rn→Rnf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^nX ∈ Rんx∈Rn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^nMMMf（x）f(x)f(\mathbf{x})MMMMMMx（ tf）x(tf)\mathbf{x}(t_f)（ここでは特定の最終時間です）は、桁に間違いなく正しいです。Ntf∈ Rtf∈Rt_f \in \mathbb{R}NNN 明らかに、これはただの関数のために行うことはできませんあるため、大幅に変更され、真の解決策はなく、中にピックアップされていないことをいくつかのクレイジーな行動を持っているかもしれません評価の妥当な数。したがって、これを行うには、のどのような良好な動作条件（たとえば、すべての偏導関数が存在し、制限されているか、小さなリプシッツ定数など）が必要であることを知りたいと思っています。 f …

8 numerical-analysis  ode  precision 

弾性固体の運動方程式は、 ∇⋅σ+f=ρu¨σ=Cεε=12(∇u+[∇u]T)∇⋅σ+f=ρu¨σ=Cεε=12(∇u+[∇u]T)\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \rho \ddot{\mathbf{u}}\\ &\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}\boldsymbol{\varepsilon}\\ &\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u} + [\nabla\mathbf{u}]^T\right) \end{align} またはインデックス表記 σij,j+fi=ρui¨σij=Cijklεklε=12(ui,j+uj,i)σij,j+fi=ρui¨σij=Cijklεklε=12(ui,j+uj,i)\begin{align} &\sigma_{ij,j} + f_i = \rho \ddot{u_i}\\ &\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}\\ &\varepsilon = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \end{align} uu\mathbf{u}は変位ベクトル、ff\mathbf{f}は物体力（ソース項）、σσ\boldsymbol{\sigma}は応力テンソル、εε\mathbf{\varepsilon}はひずみテンソル、CC\mathbb{C}は剛性テンソルです。等方性固体の場合、剛性テンソルは2つの異なる定数で記述されます。境界のないドメインの場合、方程式は非結合の2種類の波を認め、安定性の基準は2つの異なるケースの最悪のケース（つまり、 、より高速なもの）。 以下のために横等方性材料テンソルを定義する5つの独立したパラメータ、および波（それらの2が結合している）の3種類があります。より一般的なケースでは、パラメーターの数は21で、波は結合されます。 質問：一般的な場合のタイムマーチングアルゴリズムの安定性の基準をどのようにして見つけますか？

8 pde  numerical-analysis  finite-difference  cfl  solid-mechanics 

Newtonの方法を検索1 / x−−√1/バツ1/\sqrt{x}に適用するために平方根を計算する際に除算を回避することはかなりよく知られたトリックであり、おそらく除法なしで逆数を見つけるためにNewtonの方法を使用します。 StackOverflowスレッドを救出する際、リンクの腐敗から立方根のニュートン反復を効率的にシードすることで、立方根の除算なしの反復も可能であるはずだと考えました。 たとえば、次のように解決するとします。 バツ− 3= a2バツ−３=a2 x^{-3} = a^2 次に、およびです。上記の方程式のニュートン反復は単純です：x = a- 2 / 3バツ=a−2/３x = a^{-2/3}a−−√３= a xa３=aバツ\sqrt[3]{a} = ax バツn + 1= xん− x− 3ん− a2− 3 x−4ん=4３バツん−1３a2バツ4んxn+1=バツん−バツん−３−a2−３バツん−4=4３バツん−1３a2バツん4 x_{n+1} = x_n - \frac{ x_n^{-3} - a^2 }{-3x_n^{-4}} = \frac{4}{3}x_n - \frac{1}{3}a^2 x_n^4 ここでも、少なくとも分数定数がFP乗算用に事前評価されている場合は、除算演算を回避します。 だから、ある種のことは可能ですが、私は（確かに浅い）Webの検索でそのような方法についての具体的な議論を見つけられませんでした。要するに、賢い人はすでにより良いアイデアを発見しており、あなたの大切な同僚の1人がそれを見て、または考え抜いていたのではないかと思います。

8 algorithms  numerical-analysis  special-functions 

新しい数値計算手法としての離散外部計算が、弾性、流体、またはその他の物理的/実際の領域の問題を数値的に解決するのに適しているかどうか、ただ疑問に思っています。

8 simulation  numerical-analysis