Discrete Exterior Calculusは、現在、数値計算の世界または業界のシミュレーションの焦点です。

新しい数値計算手法としての離散外部計算が、弾性、流体、またはその他の物理的/実際の領域の問題を数値的に解決するのに適しているかどうか、ただ疑問に思っています。

計算電磁気学の背景から言えば、問題を離散化する非常にエレガントな方法だと思います。私は固有モードと境界値の問題で成功しました。対角線のホッジスター（集中質量近似）を使用する場合は、厳密な有限要素離散化よりも精度が低い可能性がありますが、ホッジスターを注意深く計算すると、同じ漸近収束率を達成すると思います（電磁気学ではおそらくトリッキーです）連続体力学）。ですから、それはたぶん小さな一定の要因の悪化にすぎません（理論的には、無視できるかもしれません）。

DECは、問題の定式化を大幅に簡素化し、問題の物理にさらに集中できるようにします。ホッジスターの構造は、構成関係の意味と、空間平均を実行する物理的に意味のある方法とは何かを考えるように強制します。また、離散設定での連続問題の重要な対称性の多くを保持しているようであり、有限要素設定よりもこれらを証明する方が簡単な場合があります。

最後に、コードを書く人として、マトリックスのアセンブリ中に求積法を実行する必要がないことを感謝しています。代わりに、想定される形式の空間変動を使用した分析空間平均を使用して、ホッジスターを計算できます。空間にわたって区分的に一定の材料特性がある電磁気学では、これらの平均を正確に計算できるため、空間ジオメトリの小さな摂動に関して問題全体がスムーズになります。これは、メソッドをラップする最適化に大きく役立ちます。

この回答は数年遅れますが、これらの質問は今日でも関連性があると思います。近年、コンピュータグラフィックス、ジオメトリ処理、ナビエストークス方程式、ダーシーフローなどの分野でDECの新しいアプリケーションが登場しました。以下で提案する論文の紹介では、DECが使用されている分野（線形弾性、電気力学、変分積分器を含む）の概要を簡単に説明します（引用された著者の何人かはDECの文献で非常に活発です）。

ティムールがmathoverflowブログの回答で述べたように、収束は、DECを収束することが知られている他の方法と関連付けることで、特別な場合に取得できます。しかし、収束の問題に取り組むための一般的なフレームワークを開発する真剣な試みが行われました。最近、離散L2ノルムの任意の次元におけるポアソン問題（関数、つまり0形式）のDEC解の収束を証明しました。他の規範でディスクリート・ソリューションの漸近行動に関連する多くの問題や疑問が開いたままが、以下では、理論のより良い理解に向けた歓迎のステップです：https://arxiv.org/abs/1611.03955（離散エクステリアのコンバージェンスポアソン問題の微積分近似、Erick SchulzおよびGantumur Tsogtgerel、2016年）。

離散外部計算（DEC）には長所と短所があります。

長所：

使いやすさ学生にとって、単純なPDE、たとえば曲面上のラプラス/ポアソン（ラプラスベルトラミ）の離散化とソルバーを組み立てることは非常に簡単です。Caltechジオメトリラボの後、コンピュータグラフィックスで非常に人気のある方法になりました。メイングラフィックカンファレンス（SIGGRAPH）でいくつかのコースを作成しました。他の回答の参照を参照してください。これは特に、学生が行列をよく知っているが積分についてはあまり知られていないコンピュータグラフィックスの場合に当てはまります。DECを使用すると、彼らは「レゴをプレイ」し、あまり苦しむことなく単純なPDEを解決できます。

いくつかの計算を簡単にする DECはEC（Exterior Calculus、1899年から1945年にElie Cartanによって発明された）の発散です。ECの中心には、フォーム（「統合されるもの」）とチェーン（「統合ドメイン」）の概念、およびそれらの間の二重性があります。いくつかの定理（ストークス、グリーンガウス、オストログラドスキー、および分析の基本定理）は、この双対性の特殊なケースです。これはエレガントであるだけでなく、場合によっては（電磁気学のように）計算を単純化し、多くの場合にオブジェクトのパラメーター化を参照することを避けます（たとえば、表面上のベクトルフィールドを操作するとき、または湾曲した時空間設定で）。相対性の）。

自由の自由度を示すフォーム（「統合されるもの」）とチェーン（「統合ドメイン」）の間の関係を説明することにより、ECは、サーフェス上のベクトルフィールドなどのオブジェクトの非実用的なパラメータ化を示し、ベクトルフィールドのトポロジと基礎となる表面（ホモロジー：表面上でトレースされた曲線のトポロジー、コホモロジー：ベクトル場のトポロジー）。詳細な調査については、[1]を参照してください。これを[2,3]で使用して、離散ベクトル場のトポロジー的な自由度を研究しました。このタイプの推論の力の印象的な例は、Gottler et.alによるTutteの平面埋め込み定理の証明です[4]。この定理の以前の証明（Tutte、後でColin deVerdièreによる）を理解するには、グラフ理論に関する特定の背景が必要です。Gortlerらによる証明。alははるかにアクセスしやすく、

短所：

Caltechジオメトリラボが推進するDECの簡易バージョン。フードの下に多くの詳細を隠します。ユークリッド設定と曲線設定の両方でラプラス方程式とポアソン方程式を導出することは問題ありませんが、より複雑な方程式を離散化すると、連続設定への収束および/またはは離散化によって保持されます（div / grad / curlを含むID、ホッジ複合体と呼ばれ、Jenny HarissonやRobert Kotiugaなどの数学者によって研究されています）。コンピュータグラフィックスでの使用方法（主にラプラスの方程式）は、ほとんどの場合、従来のP1 FEMラプラシアンよりも多くのものをもたらしません。私は古典的なP1 FEMラプラシアンを好む傾向があります。これは、離散化の公式を与え、説明するためです。$B^{-1}A$$B$$A$$B$$B$

結論/要約： ECとDECは、複雑な問題（電磁気学、任意のトポロジーの表面上のベクトル場）を研究するための強力な理論です。コンピュータグラフィックスでの使用方法は、積分を知らない学生が簡単なことをするのを簡単にします。単純なことについては、理論から保証までの完全な演繹パスが理論から離散化まで従うのがより簡単である、古典的なFEM公式を好む傾向があります。複雑なものの場合、それは非常にエレガントで効率的です（離散ホッジスターと離散外部導関数のいくつかの形式で「レゴを演奏する」だけでなく、すべての推論パスが保持される場合）。

[1]ダグラスアーノルド、有限要素外装計算、2006

[2] N対称方向フィールド設計、ACM Trans。グラフ、2008

[3]ジオメトリ対応の方向フィールド処理、ACM Trans。グラフ、2009

[4] Tutteの平面埋め込み定理、Gortler、Gotsmann、Thurston、2006年、コンピュータ支援の幾何学的設計の初歩的な証明

興味があるように見えますが、爆発的ではありません。ボリュームが少なすぎるので、私の好みには合いませんが、私は有限要素の人です。

私はこれまでHPCおよび一般的な科学的コンピューティングに関しては非常にこの質問への答えに興味があると思いますが、確かにここの出版物および参考文献の多くでは、たとえば、計算幾何学での素敵な結果の多くがあった：のhttp：/ /www.geometry.caltech.edu/pubs.html