同じソリューションで2つの逆問題を解決する

私には2つの逆問題があります、

あ_{1} バツ = b_{1} あ_{2} バツ = b_{2}

$A_1 ~ x = b_1 \qquad A_2 ~ x = b_2$

これまでのところ、Tikhonov正則化を使用してそれらを個別に解決し、 2つの推定値を取得してい $x$ ます。ただし、私の場合、 $x$ は両方の方程式で同じ解を表します。「同時に」解決することは可能ですか？理想的には私は答えを見つけるでしょう

分 （ ‖ あ_{1} バツ - b_{1} ‖^{2} + ‖ あ_{2} バツ - b_{2} ‖^{2} + ‖ Γ バツ ‖^{2} ）

$\min \left( \lVert A_1 x - b_1 \rVert^2 + \lVert A_2 x - b_2 \rVert^2 + \lVert\Gamma x\lVert^2 \right)$

ここで、 $\Gamma = \alpha ~ I$ あり、 $I$ はTikhonov正則化（別名リッジ回帰）のように単位行列です。私は両方のソリューションの平均をとることができると思いますが、これに統計的に強力な方法があるかどうか疑問に思います。

linear-algebra numerical-analysis inverse-problem

— 認める
ソース

との測定値の相対精度はどのですか？これに合わせて調整する必要がある場合があります。すべての測定は独立していますか？相関関係は物事を複雑にする可能性があります。

b_{1}

$b_{1}$

b_{2}

$b_{2}$

— ブライアンボーチャーズ

今はすべてモデル化されているので、と完全にわかっていますが、実際には、おそらく10倍の精度でを知っています。ただし、このステップでは、それらを等しく知っていることと、それらが独立していることを前提としています。

b_{1}

$b_1$

b_{2}

$b_2$

b_{1}

$b_1$

— 16

だからここであなたの質問は何ですか？質問で与えた3項の最小二乗問題を簡単に解決できます。

— ブライアンボーチャーズ2016

それは...ですか？答えを説明していただければ、正解とさせていただきます。私はnumpyの最小二乗ソルバーのような基本的なルーチンを使用しています。私はCSの出身ではないので、明らかなことを逃している可能性があります。

— 16

あなたはあなたの問題を次のように書くことができます

$\min \| Fm - g \|_{2}^{2}$

どこ

$F=\left[ \begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \\ \alpha I \\ \end{array} \right]$

そして

$g=\left[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ 0 \\ \end{array} \right].$

この問題を解決するために使用する線形最小二乗ソルバーを使用できます。

— ブライアン・ボーチャーズ
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