FEMの基準の選択

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簡単に言えば、FEMで使用されるさまざまなタイプの基底は何ですか？なぜ、節の基底は有限要素のコンテキストでそれほど人気があり、有利であるのですか？

finite-element numerical-analysis basis-set

— kfkhalili
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人々は実際にあらゆる種類の拠点を使用しています。たとえば、人々はDGメソッドで正規直交基底を使用して、タイムステッピングスキームの質量行列が対角になるようにします。また、アダプティブ機能を実行するときに階層ベースを使用します。これは、異なる多項式の次数が一緒になる面での制約の構築が簡単になるためです。より高次の方法の場合、人々はまた、行列の条件数を最小化するために他の構造を使用します。 $p$

つまり、実際に使われている拠点は多種多様です。節点ベースでFEMを教え始めたのは、理解が非常に簡単で、ほとんどの場合それで十分なためです。

— ヴォルフガングバンガース
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節のラグランジュ基底は、ノットで関数を補間するので良いです。これは、表現の係数だけを見て解を読み取ってプロットできることを意味します：これは、知ることにすべてのポイントで合計を評価する必要があるよりもはるかにます。

ϕ_{i} (x_{j}) = δ_{i j}

$\phi_i(x_j) = \delta_{ij}$

u_{j}

$u_j$

u_{h} (x) = \sum_{j} u_{j} ϕ_{j} (x)

$u_h(x) = \sum_j u_j\phi_j(x)$

u_{h}

$u_h$

— ビル・バース
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ため工学の節塩基は、固体力学の問題のための良好な出発点である仮想仕事の原理離散化システムのための読み取る、が実際に（同等の）節点内力であり、は（同等の）ノード外力です。他のベースの場合、仮想作業の原理はまだ有効ですが、は節点変位ではないため、意味ははるかに抽象的です。 $\mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{f}$

δ u^{T} K u = δ u^{T} f

$\delta \mathbf{u}^T \mathbf{K} \mathbf{u} = \delta \mathbf{u}^T \mathbf{f}$

K u

$\mathbf{K} \mathbf{u}$

f

$\mathbf{f}$

u

$\mathbf{u}$

f

$\mathbf{f}$

初期のFEM開発は主にエンジニアリングアプリケーションによって推進され、ノードに適用される点力の直感はメソッドの拡散にとって非常に重要でした。

— ステファノM
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FEMにはさまざまなベースがありますが、ほとんどは、頂点、エッジ、面、要素の内部などのトポロジエンティティに関連付けられている基底関数を含みます。これにより、そのような関数の自由度が共有される頂点/エッジ/面で確実に一致するようにすることで、さまざまなタイプの連続性を強制することが可能になります。

これらの基底関数は、階層的な方法で定義することもできます（1D関数の定義、2D関数へのブレンド、2D関数の3Dへのブレンドなど）。この方法で定義されたベースは、スパース性を公開したり、他の数学的特性を保証したりするために使用できますが、その構造はより複雑です。

節点ベースは、適切な数のノードが要素の頂点、エッジ、面、および内部に配置されている限り、そのような関数を定義するためのより簡単な方法です。連続性は、2つの節点の値が共有の頂点/エッジ/面で同一であることを確認することによって強制できます。さらに、そのようなノードが直角位相点に配置されている場合、これを利用して、四辺形要素と六面体要素の効率的な時間ステップおよびマスマトリックスアセンブリを作成できます（これは、スペクトル要素法のルートにあります）。

— ジェシー・チャン
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$L_2$

— オスカーリムカ
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