行列の条件数は、反復線形ソルバーの精度に影響しますか？

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条件番号に関してかなり具体的な質問があります。複数の長さスケールを持つFEMシミュレーションを実行すると、マトリックス内の最大のエントリと最小のエントリの間に大きな差異が生じます。条件番号は、状況によっては10 ^ 15にもなることがあります。

数値解析では、直接法を使用して計算されたソリューションのエラーに適用されるため、条件番号のエラー限界をよく見ます。私の好奇心は、このロジックがCGのような反復型ソルバーやGMRESのエラーにも当てはまるかどうかです。収束率は行列の固有値の影響を受けることは知っています。このタイプの問題を実行すると、速度が大幅に低下することに気づきます。しかし、その正確さについては不明です。任意の助けいただければ幸いです。

linear-algebra numerical-analysis linear-solver

— CraigJ
ソース

メッシュを細かくすることで状態数を減らすことは可能ですか？

— nathanielng 2015

FEMについての私の理解の欠如かもしれません。しかし、マルチスケールモデリングの問題では、最大の要素から最小の要素への体積は約10 ^ 10です。これらのパラメータが行列のエントリに入ることがわかっています。この種のことがFEM線形ソルバーで説明されているかどうかはわかりません（しかし、それがどのように行われるかわかりません。そのため、私は質問しました）。したがって、あなたの質問に答えるために、要素はすべて許容できる品質であるようにメッシュが洗練されていますが、要素のサイズが異なるため、条件番号はこの順序であると推定されました。

— CraigJ 2015年

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病気の条件付けは、連立方程式を解くために使用されるアルゴリズムではなく、連立方程式の特徴です。システムの条件が悪い場合（）、システムのソリューションは、非常に高い精度（例：500桁）で行われたとしても、問題のデータの摂動に非常に敏感であると期待できます。）直接因数分解を使用した算術。 $10^{15}$

反復的な方法では、妥当な時間内に解に収束することはまずありません。何世紀も待っても構わないとしても、得られた解決策は問題のデータの乱れに非常に敏感です。

— ブライアン・ボーチャーズ
ソース

したがって、マトリックスの値に影響する5〜10％の変動性を持つパラメーターがある場合、この不確実性は、解法のタイプに関係なく何倍にも拡大されますか？ありがとう、少し説明を求めてください。

— CraigJ 2015年

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はい、データの精度が5〜10％で、システムの状態が悪い場合は、深刻な問題に直面しています。あなたは本当にある種の正則化を考慮する必要があります。

— Brian Borchers、2015年

これは面白い。要素のサイズはほぼ同じですが、PDEの各カーネルのスケーリングが原因で悪条件の行列がある場合、正則化について言及し、これを解決するための提案はありますか？たとえば、問題の比較的小さいバージョン：PETScの-pc_svd_monitorは、540/620次数のゼロに近い特異値のようなものを明らかにしました。カーネルを長さスケールで再スケーリングし、この問題を約280/620ゼロに近い特異値に減らしました。問題は、最大の特異値がまだ程度であり、問題が収束していないことです。

10^{- 20}

$10^{-20}$

10^{12}

$10^{12}$

— John M

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ここでもっと正確にすべきです。あなたが与えることができる最も単純な推定は、それです残差を使用して反復を終了すると、係数でオフになる可能性があります、による相対残差の場合したがって、失う桁数を簡単に見積もることができます

| | x^{*} - x | | = | | A^{- 1} A (x^{*} - x) | | \leq | | A^{- 1} | | | | b - A x | |

$||x^* - x|| = ||A^{-1} A (x^* - x)|| \le ||A^{-1}||\,||b - A x||$

| | A^{- 1} | |

$||A^{-1}||$

κ (A) = | | A | | | | A^{- 1} | |

$\kappa(A) = ||A||\,||A^{-1}||$

\log κ .

$\log\kappa.$

— マット・ネプリー
ソース