Runge-Kuttaメソッドを2次ODEに適用する

オイラー法をルンゲ・クッタの4次に置き換えて、一定の重力ではない自由落下運動（たとえば、地上1万kmからの自由落下）を決定する方法を教えてください。

これまで、オイラー法による簡単な統合を書きました。

while()
{
    v += getMagnitude(x) * dt;
    x += v * dt;
    time += dt;
}

x変数は現在位置、vは速度、getMagnitude（x）はx位置の加速度を返します。

私はRK4を実装しようとしました：

while()
{
    v += rk4(x, dt) * dt; // rk4() instead of getMagintude()
    x += v * dt;
    time += dt;
}

ここで、rk4（）関数本体は次のとおりです。

inline double rk4(double tx, double tdt)
{
   double k1 = getMagnitude(tx);
   double k2 = getMagnitude(tx + 0.5 * tdt * k1);
   double k3 = getMagnitude(tx + 0.5 * tdt * k2);
   double k4 = getMagnitude(tx + tdt * k3);

   return (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6.0;
}

しかし、RK4（加速）を使用して1回だけ統合しているため、何かが間違っています。RK4を使用した速度の積分は、v * dtと同じであるため意味がありません。

Runge-Kutta積分を使用して2次微分方程式を解く方法を教えてください。k1、l1、k2、l2 ... l4係数を計算してRK4を実装する必要がありますか？どうやってやるの？

マルチステップ（ルンゲクッタなど）メソッドを2次以上のODEまたはODEシステムに適用する方法については、かなりの混乱があるようです。プロセスは一度理解すれば非常に簡単ですが、適切な説明がなければ明らかではありません。次の方法は、私が最も簡単な方法です。

$F = m\ddot{x}$

$v$$x$k1k4$(x,v)$

while (t<TMAX)
    k1 = RHS( t, X );
    k2 = RHS( t + dt / 2, X + dt / 2 * k1 );
    k3 = RHS( t + dt / 2, X + dt / 2 * k2 );
    k4 = RHS( t + dt, X + dt * k3 );
    X = X + dt / 6 * ( k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4 );
    t = t + dt;
end

X$=(x,v)$RHS( t, X )$(\dot{x}(t),\dot{v}(t))$

残念ながら、C ++はこのようなベクトル操作をネイティブにサポートしていないため、ベクトルライブラリを使用するか、ループを使用するか、個別の部分を手動で書き出す必要があります。C ++ではstd::valarray、同じ効果を達成するために使用できます。一定の加速を伴う簡単な動作例を次に示します。

#include <valarray>
#include <iostream>

const size_t NDIM = 2;

typedef std::valarray<double> Vector;

Vector RHS( const double t, const Vector X )
{
  // Right hand side of the ODE to solve, in this case:
  // d/dt(x) = v;
  // d/dt(v) = 1;
  Vector output(NDIM);
  output[0] = X[1];
  output[1] = 1;
  return output;
}

int main()
{

  //initialize values

  // State variable X is [position, velocity]
  double init[] = { 0., 0. };
  Vector X( init, NDIM );

  double t = 0.;
  double tMax=5.;
  double dt = 0.1;

  //time loop
  int nSteps = round( ( tMax - t ) / dt );
  for (int stepNumber = 1; stepNumber<=nSteps; ++stepNumber)
  {

    Vector k1 = RHS( t, X );
    Vector k2 = RHS( t + dt / 2.0,  X + dt / 2.0 * k1 );
    Vector k3 = RHS( t + dt / 2.0, X + dt / 2.0 * k2 );
    Vector k4 = RHS( t + dt, X + dt * k3 );

    X += dt / 6.0 * ( k1 + 2.0 * k2 + 2.0 * k3 + k4 );
    t += dt;
  }
  std::cout<<"Final time: "<<t<<std::endl;
  std::cout<<"Final position: "<<X[0]<<std::endl;
  std::cout<<"Final velocity: "<<X[1]<<std::endl;

}