タグ付けされた質問 「finite-element」

常微分および偏微分方程式を解く手段。問題のドメインは要素に分割され、各要素のソリューションは関数のベースで拡張されます。有限要素法は、適応的改良、不規則な形状、優れた誤差推定に適しています。

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FeniCS：高次要素の視覚化
FEniCSをいじり始めたばかりです。3次要素でポアソンを解いているので、結果を視覚化したいと思います。ただし、plot（u）を使用すると、視覚化は結果の単なる線形補間になります。VTKに出力するときにも同じことが起こります。私が作業している別のコードで、高次の要素をアップサンプリングして、実際にParaviewで高次に見えるようにするVTK出力機能を作成しました。FEniCSにはこのような（またはそれ以上の）ものがありますか？
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メッシュの一般的なファイル/データ形式（FEM用）とは何ですか？
FEMシミュレーションを開発しています。初期のテストでは、簡単な自己記述型のメッシャーとメッシュグラフの視覚化を使用します。ただし、既存のメッシャーによって生成されたデータを使用するようにプログラムを準備し、既存の視覚化ツールに出力したいと思います。 （FEM）メッシュのファイル形式と内部データ形式の推奨（準）標準はありますか？
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DG-FEMにおける数値フラックスの役割
私はHesthaven / Warburtonの本を使用してDG-FEMメソッドの背後にある理論を学んでおり、「数値フラックス」の役割について少し混乱しています。これが基本的な質問であればおIびしますが、満足のいく答えが見つかりませんでした。 線形スカラー波動方程式を考えます。 ここで、線形フラックスはとして与えられます。、F（U）=AU∂あなたは∂t+ ∂f（u ）∂バツ= 0∂あなたは∂t+∂f（あなたは）∂バツ=0\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0f（u ）= a uf（あなたは）=aあなたはf(u) = au Hesthavenの本で紹介されているように、各要素、基底関数ごとに1つの方程式があり、残差が弱くなることを強制します。NkkkNNN Rh（x 、t ）= ∂あなたはh∂t+ ∂Uh∂バツRh（バツ、t）=∂あなたはh∂t+∂aあなたはh∂バツR_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x} ∫DkRh（x 、t ）ψn（x ）dx = 0∫DkRh（バツ、t）ψn（バツ）dバツ=0\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0 いいよ したがって、パーツによる統合を1回行って「弱いフォーム」に到達し（1）、パーツによる統合を2回行って「強いフォーム」を取得します（2）。Hesthavenの一種の行き過ぎだが、簡単に一般化された1Dの表面積分形式を採用します。 （1）∫Dk（∂あなたはkh∂tψn- …
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固有値問題の検証
フォームの問題から始めましょう (L+k2)u=0(L+k2)u=0(\mathcal{L} + k^2) u=0 与えられた境界条件のセット（Dirichlet、Neumann、Robin、Periodic、Bloch-Periodic）。これは、いくつかの幾何学および境界条件の下で、ある演算子の固有値と固有ベクトルを見つけることに対応しLL\mathcal{L}ます。たとえば、音響学、電磁気学、弾性力学、量子力学でこのような問題を得ることができます。 さまざまな方法、たとえば、有限差分法を使用して演算子を離散化できることを知っています [A]{U}=k2{U}[A]{U}=k2{U}[A]\{U\} = k^2 \{U\} または、有限要素法を使用して取得する [K]{U}=k2[M]{U}.[K]{U}=k2[M]{U}.[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace . あるケースでは、固有値問題と一般化された固有値問題を別のケースで取得します。問題の離散バージョンを取得した後、固有値問題のソルバーを使用します。 いくつかの考え Manufactured Solutionsの方法は、方程式のバランスをとるためのソース用語がないため、この場合は役に立ちません。 行列および[ M ]が、ソースタームの周波数領域の問題を使用してうまくキャプチャされていることを検証できます。たとえば、[K][K][K][M][M][M] [∇2+ω2/c2]u(ω)=f(ω),∀ω∈[ωmin,ωmax][∇2+ω2/c2]u(ω)=f(ω),∀ω∈[ωmin,ωmax][\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max] の代わりに [∇2+k2]u=0.[∇2+k2]u=0.[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace . しかし、これはソルバーの問題をチェックしません。 たぶん、FEMやFDMなどの異なる方法のソリューションを比較できます。 質問 …
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有限要素行列のスパース構造の計算
質問：有限要素行列のスパース構造を正確かつ効率的に計算するには、どのような方法が利用できますか？ 情報：私はポアソン圧力方程式ソルバーに取り組んでおり、Cで記述された2次ラグランジュ基底を使用したGalerkinの方法を使用し、スパースマトリックスストレージとKSPルーチンにPETScを使用しています。PETScを効率的に使用するには、グローバル剛性マトリックスにメモリを事前に割り当てる必要があります。 現在、私は次のように行ごとの非ゼロの数を推定するために模擬アセンブリを行っています（擬似コード） int nnz[global_dim] for E=1 to NUM_ELTS for i=1 to 6 gi = global index of i if node gi is free for j=1 to 6 gj = global index of j if node gj is free nnz[i]++ ただし、ノード間相互作用が複数の要素で発生する可能性があるため、これはnnzを過大評価しています。 どのi、jインタラクションが見つかったかを追跡しようと考えましたが、多くのメモリを使用せずにこれを行う方法はわかりません。ノードをループして、そのノードを中心とした基底関数のサポートを見つけることもできますが、各ノードのすべての要素を検索する必要があり、非効率的です。 私が見つかりました。これは特に書いたステファノM、から、いくつかの有用な情報が含まれて最近の質問を、 私のアドバイスは、それをpythonまたはCで実装し、いくつかのグラフ理論概念を適用することです。つまり、マトリックスの要素をグラフのエッジと見なし、隣接マトリックスのスパース構造を計算します。キーのリストまたは辞書のリストは一般的な選択肢です。 これに関する詳細とリソースを探しています。私は確かに多くのグラフ理論を知らず、役に立つかもしれないすべてのCSトリックに精通していません（数学的な側面からこれに近づいています）。 ありがとう！
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ストークス方程式に混合有限要素法の互換性条件を課す
\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}} 次のストークスフローモデル方程式があるとします。 {−div(ν∇u)+∇pdivu=f=0{−div(ν∇u)+∇p=fdivu=0 \tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right. ここで、粘度は関数であり、標準の混合有限要素では、安定ペアを使用するとします。速度\ v {u}および要素ごとの一定空間にCrouzeix-Raviart空間圧力のS_hV h u S h pν(x)ν(x)\nu(x)VhVh\v{V}_huu\v{u}ShShS_hpppは、次の変分形式があります。 L([u,p],[v,q])=∫Ων∇u:∇v−∫Ωqdivu−∫Ωpdivv=∫Ωf⋅v∀v×q∈Vh×ShL([u,p],[v、q]）=∫Ων∇あなたは：∇v−∫Ωqd私vあなたは−∫Ωpd私vv=∫Ωf⋅v∀v×q∈Vh×Sh \mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times …
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圧縮性オイラー方程式を解くための可能な方法は何ですか
圧縮可能なオイラー方程式用の独自のソルバーを作成したいと思います。最も重要なことは、すべての状況でロバストに動作することです。FEベースにしたいと思います（DGは大丈夫です）。可能な方法は何ですか？ 私は0次DG（有限量）を行うことを認識しており、非常に堅牢に動作するはずです。基本的なFVMソルバーを実装しましたが、うまく機能しますが、収束が非常に遅くなります。ただし、これは間違いなく1つのオプションです。 線形化されたオイラー方程式のFEソルバー（任意のメッシュと任意の要素の任意の多項式次数で動作します）を実装しましたが、スプリアス振動を取得しています（そして最終的には吹き飛ばされるので、使用できませんので問題を解決します）。私はそれを安定させる必要があることを文献で読みました。何らかの安定化を実装すると、すべての問題（境界条件と形状）に対して安定して機能しますか？収束率はいくらですか？ それ以外に、オイラー方程式の他の堅牢な方法論がありますか（つまり、安定化を伴う高次DG）。 多くの人が自分の研究コードでさまざまなことを試したことを知っていますが、すべてのジオメトリと境界条件で機能する堅牢な方法に興味があります（編集：2Dおよび3D）。
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数学的に、なぜ質量行列/負荷ベクトルの集中が機能するのですか？
一貫した質量行列を集中対角行列に置き換えることがよくあることを知っています。過去には、FEMに一貫した方法ではなく、集中的な方法で負荷ベクトルがアセンブルされるコードも実装しました。しかし、そもそもなぜこれを許可されているのか、私は一度も調べたことがありません。 塊と荷重ベクトルに適用できるようにする塊の背後にある直感は何ですか？それの数学的正当化とは何ですか？どのような状況で、固まりが許可されない/質量および負荷ベクトルの適切な近似ではないのですか？
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Comsol Multiphysicsの代替
これはSEのSoftware Recommendations側により適した質問かもしれませんが、SEのこの部分に頻繁にアクセスする人はこの質問に答えられる可能性が高いと思います。 Comsol Multiphysicsに代わる無料の（自由であるだけでなく）代替品を探しています。ここに注意が必要な点があります。モデリングとシミュレーションのパッケージを探しているだけではありません。その中には負荷がありますが、Comsolと可能な限り類似した構文を持つ無料のソリューションを探しています。Octaveと一緒に実行できるパッケージがありますか？もしそうなら、私はそれを見つけていません。どんな助けも大歓迎です！ ありがとうございました！ [編集]数値モデリングとシミュレーションのためのソフトウェアが必要です。さまざまな容器間を流れる流体、熱伝導、電気ショック療法。要するに、さまざまなPDEのシミュレーションソリューション。オウムに他のソフトウェアを探している主な機能はComsols Model Wizardです。
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不定対称システム用のPETScのどの前提条件（およびソルバー）を使用する必要がありますか？
私のシステムは、ラグランジュ乗数を伴う対称FE問題です（たとえば、非圧縮ストークスの流れ）。 （ABBTC）（ABTBC）\begin{pmatrix}A & B^T \\ B & C\end{pmatrix} ここで、は典型的なケースです（ラグランジュ乗数が最後に現れるように方程式に番号が付けられていることを確認しました）。システムは非常に大規模です（+ 100k行）。C= 0C=0C = 0 この質問に対する答えを読んで、混合FE問題に使用できる適切な前提条件が存在するという印象を受けました。 PETScを使用して、MINRES（-ksp_type minres -pc_type none -mat_type sbaij）でシステムを解決できましたが、精度はそれほど高くありません（線形問題に対していくつかのニュートン反復が発生します）。前提条件とksp-solverの他の組み合わせは機能しないようです。 MINRESを使用するよりも速くこのシステムを解決するPETScのフラグの組み合わせはありますか？
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有限要素による特異摂動反応拡散問題の振動
ときは、FEM-離散化と反応拡散問題を解決する、例えば 用いて 0 < ε « 1（特異摂動）、離散問題の解決策は、典型的に近い境界に振動層を示すであろう。Ω = （0 、1 ）、 ε = 10 - 5と線形有限要素、溶液 U Hルックス等- ε Δ U + U = 1 で Ωuが= 0を 上 ∂Ω−ε△あなたは+あなたは=1 オン Ωあなたは=0 オン ∂Ω - \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ …
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3D 4ノード要素に多項式表現を統合する方法は？
3次元の4ノード要素上の多項式を統合したい。FEAに関するいくつかの書籍では、任意のフラットな4つのnoned要素に対して積分が実行される場合について説明しています。この場合の通常の手順は、ヤコビ行列を見つけ、その行列式を使用して積分基底を正規化されたものに変更することです。 換言すれば∫Sf(x,y) dxdy∫Sf(x,y) dxdy\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,∫−11∫−11f~(e,n) |det(J)|dedn∫1−1∫1−1f~(e,n) |det(J)|dedn\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n しかし、2Dの場合、任意のフラット要素を2×2のフラットな平面要素に変更します。 3D 4節点要素は一般に平坦ではありませんが、それでも何らかの方法でデカルト座標系に関連する2D座標系でマッピングできると思います。{x、y、z}を{e、n}で表現する方法と、この場合のヤコビ行列のサイズ（正方形であると想定されている）はどうなるかわかりません。
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異方性境界メッシュを使用した非圧縮性の流れに対してどのような空間離散化が機能しますか？
高レイノルズ数の流れは、非常に薄い境界層を生成します。ラージエディシミュレーションで壁の解像度が使用される場合、アスペクト比はオーダーになる場合があります10610610^6。inf-sup定数はアスペクト比の平方根またはそれ以下に低下するため、多くの方法はこの体制で不安定になります。inf-sup定数は、線形システムの条件数と離散解の近似特性に影響するため重要です。特に、次の離散誤差ホールドの先験的境界（Brezzi and Fortin 1991） μ∥u−uh∥H1≤C[μβinfv∈V∥u−v∥H1+infq∈Q∥p−q∥L2]∥p−ph∥L2≤Cβ[μβinfv∈V∥u−v∥H1+infq∈Q∥p−q∥L2]μ‖u−uh‖H1≤C[μβinfv∈V‖u−v‖H1+infq∈Q‖p−q‖L2]‖p−ph‖L2≤Cβ[μβinfv∈V‖u−v‖H1+infq∈Q‖p−q‖L2]\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf …
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