有限要素解析のテスト関数の目的は何ですか？

波動方程式では：

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

なぜ統合する前に最初にテスト関数掛けるのですか？ $v(x,t)$

finite-element

— アンディ
ソース

簡単な答え：有限要素法は、強い定式化（あなたが与えた）ではなく、弱い定式化の離散化であるためです。中程度の回答：方程式が満たされるような有限次元関数を見つけることができないためです。せいぜい、残差が有限次元解空間に直交すること、または同等に、その空間の任意の要素（正確にはテスト関数）に直交することを期待できます。部品による統合はそれほど重要ではありませんが、あなたの場合は対称性のためです。長い答えはコメントには長すぎます:)

— クリスチャンクラソン

別の簡単な説明：積分してゼロに設定すると、平均値が消えることを求めています-探しているものではなく、ドメインの一部で残差が非常に大きくなる可能性があるためですそれは別のもので反対の符号で大きくなります。テストは本質的に、各要素の残差を「ローカライズ」します。

— クリスチャンクラソン

別の説明のために、この答えを参照してください。 scicomp.stackexchange.com/questions/16331/...

— ポール

回答:

あなたはそれに逆戻りしています。正当化は、変分設定から開始し、強力な形式に向かって作業することにより、よりよく見られます。これを行ったら、テスト関数を掛けて積分するという概念を、最小化の問題から始めない問題に適用できます。

したがって、最小化する問題を検討してください（ここでは厳密にではなく、正式に作業します）。

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

上のいくつかの境界条件に従う。これを最小したい場合は、関数であるに関してそれを区別する必要があります。現在、この種の派生物を検討する方法はいくつかありますが、導入された方法の1つは、 $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

どこ $h$ $I$ 、スカラーを返しますが関数の領域を持っているます。

これを計算すると $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

これをゼロに設定して最小値を見つけると、ラプラスの方程式の弱いステートメントのような方程式が得られます。

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

ここで、発散定理（別名、パーツによる多次元統合）を使用すると、から導関数を取り、それを適用できます。 $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

さて、これは偏微分方程式から弱いステートメントを作成したいときに、どこから始めるかを本当に見ています。このアイデアを今すぐ考えれば、それを任意のPDEに使用し、テスト関数を掛け、積分し、発散定理を適用してから離散化することができます。

— ビル・バース
ソース

重み付き残差を最小化するという観点から説明したいと思います。

— ニコグアロ

@nicoguaro、わかりました。そうすれば、あなたはその答えを書くことができます。そして、私たちはどちらがOPにとってより理にかなっているかを見るでしょう。:)

— ビル・バルト

弱いフォームが実際に（または少なくとも多くの場合）であることを指摘するための+1 より強い形態よりも天然。

— クリスチャンクラソン

面白い。一種の接線ですが、「この種の派生物を検討するためのいくつかの方法があります」に関しては、私が学んだ唯一の方法はあなたが言及したものです。他にどんな種類がありますか？

— user541686

h

$h$

前に述べたように、私は弱い形を重み付き残差として考えることを好みます。

$\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

$R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

$w$ $\hat{u}$ ガラーキン法）、ディラックのデルタ関数（コロケーション法）、または根本的な解決策（境界要素法）。

最初のケースを選択すると、@ BillBarthで説明されているような式になります。

— ニコグアロ
ソース