数学的に、なぜ質量行列/負荷ベクトルの集中が機能するのですか？

一貫した質量行列を集中対角行列に置き換えることがよくあることを知っています。過去には、FEMに一貫した方法ではなく、集中的な方法で負荷ベクトルがアセンブルされるコードも実装しました。しかし、そもそもなぜこれを許可されているのか、私は一度も調べたことがありません。

塊と荷重ベクトルに適用できるようにする塊の背後にある直感は何ですか？それの数学的正当化とは何ですか？どのような状況で、固まりが許可されない/質量および負荷ベクトルの適切な近似ではないのですか？

有限要素法では、行列のエントリと右側のエントリは積分として定義されます。一般に、これらを正確に計算して求積法を適用することはできません。しかし、選択できる求積式は多数あり、（i）求積法によって生じる誤差が離散化による誤差と同じオーダーであるか、少なくとも実質的に悪化しないように、（ii）マトリックスには、便利であることが判明した特定のプロパティがあります。

質量の集中はこの動作の例です。特定の求積式（つまり、有限要素の補間点に求積点があるもの）を選択すると、結果の質量行列はたまたま対角線になります。これは計算の実装にとって非常に便利であり、人々がこれらの直交式を使用する理由です。また、それが「機能する」理由でもあります。求積式のこの特定の選択は、依然としてかなり高次です。

対角行列は数値計算を高速化する上で明らかな利点があり、Wolfgang Bangerthの答えは対角質量行列の計算方法の良い説明ですが、OPの質問「なぜこれが機能するのか」という意味では答えませんそれはモデリングしている物理学への良い近似です」。

概念的には、要素の応答を3つの部分に分離できます。剛体の並進運動、要素の重心を中心とした剛体回転、および要素の変形です。

要素質量行列の基本的な機能は、要素KEを2次形式（つまり$\frac 1 2 v^T M v$$v$ノードの速度です）。

要素のサイズが小さくなると、剛体の回転によるKEへの寄与は、並進からの寄与よりも速く減少します（通常の線形サイズaの固体要素$a$場合、質量は3に比例し$a^3$が、慣性モーメントは比例します5）と素子の変形からの寄与少なくとも小さな弾性歪みの問題）のために（無視できます。$a^5$

したがって、実際に必要なのは、モーションの剛体部分に対する「良い」近似、つまり6自由度だけです。実際、剛体変換からのKEのみ、すなわち3自由度に対する良好な近似は、要素サイズが収束するにつれて収束します。減少。

要素行列の対角項には、十分な精度でこれらの3または6 KE項を表すのに十分な独立パラメーターが含まれています。実際、高次要素の場合、中間対角ノードの対角項がゼロである質量対角質量行列を使用できます。

これは、要素のポテンシャルエネルギーとはまったく異なる状況であり、剛体の並進および回転からの寄与がゼロであり、問​​題となるのは要素の変形に対応するひずみエネルギーを表すことだけであることに注意してください。したがって、対角剛性マトリックスは実現可能なアイデアではありません！

他の答えに加えて、質量行列の誤差が目的の結果に影響を与えないシナリオがあります。

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1「正しい」質量行列を使用すると、動的な物理的挙動についての推論がもちろん簡単になります。たとえば、角運動量は集中質量行列によって不適切に保存される場合があります。}