DG-FEMにおける数値フラックスの役割

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私はHesthaven / Warburtonの本を使用してDG-FEMメソッドの背後にある理論を学んでおり、「数値フラックス」の役割について少し混乱しています。これが基本的な質問であればおIびしますが、満足のいく答えが見つかりませんでした。

線形スカラー波動方程式を考えます。ここで、線形フラックスはとして与えられます。

\frac{\partial あなたは}{\partial t} + \frac{\partial f （ あなたは ）}{\partial バツ} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

Hesthavenの本で紹介されているように、各要素、基底関数ごとに1つの方程式があり、残差が弱くなることを強制します。 $k$ $N$

R_{h} （ バツ 、 t ） = \frac{\partial {あなたは}_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a {あなたは}_{h}}{\partial バツ}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} （ バツ 、 t ） ψ_{n} （ バツ ） d バツ = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

いいよしたがって、パーツによる統合を1回行って「弱いフォーム」に到達し（1）、パーツによる統合を2回行って「強いフォーム」を取得します（2）。Hesthavenの一種の行き過ぎだが、簡単に一般化された1Dの表面積分形式を採用します。

（1）

\int_{D^{k}} （ \frac{\partial {あなたは}_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a {あなたは}_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d バツ} ） d バツ = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot （ a {あなたは}_{h} ）^{*} ψ_{n} d バツ 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

（2）

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d バツ = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot （ a {あなたは}_{h}^{k} - （ a {あなたは}_{h} ）^{*} ） ψ_{n} d バツ 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

なぜ数値フラックスを選択するのですか？フラックスを使用する代わりに、（1）の境界で値を使用しないのはなぜですか？はい、この量の値は要素間で多重に定義される可能性がありますが、各方程式は1要素のみであるため、なぜこれが重要なのでしょうか？ $au_h^k$ $D^k$

さらに、部品による2番目の積分の境界項は、（2）で2回目に異なる量明確に生成するため、意味がありません。同じ操作を行っています！なぜ2つの境界用語がキャンセルされず、（2）が役に立たないのでしょうか？新しい情報をどのように導入しましたか？ $au_h^k$

明らかに、このメソッドにとって重要な何かが欠けているので、これを修正したいと思います。私はいくつかの実際の機能分析を行ったので、定式化に関してより理論に基づいた答えがあれば、知りたいです！

finite-element discontinuous-galerkin

— user3482876
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保存を保証するために数値フラックスを選択する1つの理由。境界の流束が境界を共有する各要素で異なる場合、1つの要素から流出するの量は、隣接する要素に流入する量とは異なります。保守的な輸送方程式をモデル化しているため、これは一般に望ましくありません。

u

$u$

u

$u$

— タイラーオルセン

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タイラーズのコメントに関連しますが、IMOはさらに重要です。フラックスは、さまざまなサブ問題間のカップリングももたらします。そうでなければ、離散的な意味での情報の伝播はありません。

— クリスチャンワルガ

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数値フラックスは、問題の情報が方程式の特性曲線の方向に移動するように選択されます（巻き上げ）。コメントで述べたように、各要素で定義された部分問題を結合するには、数値の流れが必要です。

数値フラックスの役割を直感的に理解する1つの方法は、次の簡単な例を検討することです。

スカラー移流方程式（簡単にために）を考えてくださいドメインは与えられます。これは双曲線方程式であり、情報は左から右に伝播するため、で境界条件を強制する必要があり（ただし、でではありません）。具体的には、特定のに対してディリクレ条件をます。 $a=1$

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 on Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$

x = 0

$x = 0$

x = 1

$x = 1$

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$

g_{D}

$g_D$

DGメソッドを使用してこの方程式を離散化し、2つの要素およびます。次の2つの結合PDEのセット、も同様に離散化できここで、これらの方程式を結合して元の方程式と同等にします方程式。 $D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = 0 on D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = 0 on D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

上記の方程式を適切に作成するには、境界条件を適用する必要があります。前と同じように、各方程式は双曲線であり、情報は左から右に移動します。したがって、の左端に（PDE 1）の境界条件を強制し、左端に（PDE 2）の境界条件を強制する必要があります。 $D_1$ $D_2$

元の問題との一貫性を保つために、の左端の境界条件はになるように選択する必要があります。また、スムーズなソリューションを探しているため、の左端の境界条件を選択して連続性を強制する必要があります。この条件は読み取ります。 $D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

この場合のDGメソッドは、上記の境界条件を強制するために、数値フラックスを正確に選択します。テスト関数乗算し、各要素上の部分で積分すると、という形式の境界項が得られます境界条件を「弱く」強制するために、境界条件が指定されているポイント（つまり左）でとを規定の値に置き換えますおよびエンドポイント）。これは、を置き換えることを意味します $\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d バツ & = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d バツ & = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$ 境界積分において、により、によりによります。

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$

換言すれば、我々は定義で、及びで、我々は正確DGに使用される標準的な風上フラックスを回復方法。 $u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

このように考えると、数値フラックス関数は、方程式の特性構造を尊重するように方程式を結合するために必要な各要素の境界条件を弱く強制するものと考えることができます。

定数係数の移流よりも複雑な方程式の場合、情報が常に同じ方向に伝播するとは限らないため、界面でリーマン問題を解く（または解を近似する）ことで数値フラックスを決定する必要があります。これは線形問題についてヘステンの本のセクション2.4で議論されています。

— ウィルP
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非常に大まかに言って、DGを使用しているかどうかに関係なく、近似品質を高めるにつれて、PDEの実際のソリューションに収束するために、ほとんどの離散化技術が必要とする2つのことがあります。

一貫性（関数がPDEを満たす場合、弱い定式化も満たします） $u$
安定性（データの小さな変更により、回答の小さな変更が発生します）

各メッシュ要素のパーツごとに統合するDG派生の最初のステップは、（1）を保持します。これは、PDEから開始し、そこから正当な操作のみを適用するためです。

ただし、これでは（2）は得られません。これは、部分的に定式化されたDG弱形式の行列を組み立ててその固有値を調べることでこれを自分で見ることができます-時間依存の問題では、すべてを左半分の平面で求めますが、適切な数値フラックスがない場合はどこにでもあります。これは、物理的な問題がなくても指数関数的に爆発する解決策につながります。

したがって、（2）が満たされるように（1）を損なうことなく、式に用語を追加する必要があります。これは行うのが難しいですが、不可能ではありません。一貫性を損なうことなく関数値をセル壁の平均に置き換えることができ、一貫性を損なうことなく常にセル壁にジャンプを追加できます（適切な滑らかさプロパティを持つソリューション場合、ジャンプは0にすぎません！） $u$

トリックは、ジャンプと平均の組み合わせを使用して、スキームがまだ一貫しているが安定しているようにそれらを結合することです。その後、収束定理が通常明らかになります。

これが基本ですが、これらの数学的な要件を単純に満たすのではなく、保存原理とうまく機能するように、多くの場合、数値フラックスに物理学を追加することもできます。

— リード・アッチョン
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DGメソッドで試行関数と等しいテスト関数を選択すると、最適化問題が作成されます。つまり、ペトロフ・ガラーキン法ではなくガラーキン法を使用しています。L2ノルム内の要素の残差を最小化する試行関数の振幅の時間微分を求めており、流入時の特定のフラックス関数を仮定してこの最小化を行います。

— フィリップ・ロー
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