3D 4ノード要素に多項式表現を統合する方法は？

3次元の4ノード要素上の多項式を統合したい。FEAに関するいくつかの書籍では、任意のフラットな4つのnoned要素に対して積分が実行される場合について説明しています。この場合の通常の手順は、ヤコビ行列を見つけ、その行列式を使用して積分基底を正規化されたものに変更することです。

換言すれば$\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$$\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

しかし、2Dの場合、任意のフラット要素を2×2のフラットな平面要素に変更します。

3D 4節点要素は一般に平坦ではありませんが、それでも何らかの方法でデカルト座標系に関連する2D座標系でマッピングできると思います。{x、y、z}を{e、n}で表現する方法と、この場合のヤコビ行列のサイズ（正方形であると想定されている）はどうなるかわかりません。

埋め込まれた2次元多様体上の関数を統合しています。多様体に関する分析の本（Munkresのアクセシブルな本やLeeの多様体に関する本など）は、このタイプの積分を定義する理論を議論するのに役立ちます。$\mathbb{R}^{3}$

が、4ノード3次元要素である多様体で定義された実数値関数であると仮定します。$f$$\mathcal{M}$

計算したい：

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$$

がをマッピングする関数であると仮定します。それから[ - 1 、1 ] 2$\varphi$$[-1,1]^{2}$$\mathcal{M}$

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$$

（私が使用されるノートのセットを私のメモリをリフレッシュする。）において、のヤコビ行列である、およびその転置です。$\mathrm{D}\varphi$$\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

で積分を書き込めば、数値法を使用して評価できます。$[-1,1]^{2}$

コメント：

• 4ノード3次元要素は多様体であると確信しています。そうである場合、関数は（定義により）存在し、区分的に連続（トポロジー多様体の場合）であり、可逆です。これらのプロパティを持つ関数を見つけるのはあなた次第です。$\varphi$
• 上記の引数は、が滑らかな多様体であると仮定しています。これは、連続的に微分可能なが存在することを意味します。あなたの場合、あなたが記述する要素は連続的に微分可能ではないかもしれません。それが本当なら、おそらくあなたの多様体を2つの滑らかな多様体に分割することができ、それでも上記の議論はまだ成り立つ。繰り返しますが、可逆性と連続微分可能性の特性を満たすを見つける必要があります。$\mathcal{M}$$\varphi$$\varphi$