ストークス方程式に混合有限要素法の互換性条件を課す

13

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ 次のストークスフローモデル方程式があるとします。

{\begin{aligned} - d i v (ν \nabla u) + \nabla p & = f \\ d i v u & = 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$ ここで、粘度は関数であり、標準の混合有限要素では、安定ペアを使用するとします。速度

および要素ごとの一定空間にCrouzeix-Raviart空間圧力の

ν (x)

$\nu(x)$

V_{h}

$\v{V}_h$

u

$\v{u}$

S_{h}

$S_h$

p

$p$ は、次の変分形式があります。

L ([u, p], [v 、 q] ） = \int_{Ω} ν \nabla あなたは ： \nabla v - \int_{Ω} q d 私 v あなたは - \int_{Ω} p d 私 v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

また、ラグランジュ乗数 $p$ は定数まで決定できるため、最終的に組み立てられた行列にはヌルスペース $1$ 必要です。これを回避するには、特定の要素の圧力 $p$ をゼロにする必要があります。特異なシステムを解きます。

だからここに私の質問1です：

（Q1）標準の混合有限要素のカーネルを削除するために、いくつかの要素に $p=0$ を強制する以外の方法はありますか？または、特異なシステムを解決して互換性のあるソリューションを得ることができるソルバーがありますか？

そして、の互換性については、（1）のためにそれがあるべき

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$ 素敵な小さなトリックを計算することである

\tilde{p}

$\tilde{p}$ こと

p

$p$ 我々はの溶液から得ました加重平均で減算された線形システム：

\begin{matrix} （2） & \overset{〜}{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

しかし、最近、ボチェフ、ドーマン、およびガンツバーガーによるストークス方程式の安定化混合有限要素を $P_1-P_0$ 実装しました。そこでは、変分定式に安定化した用語を追加しました（1）：ここでは区分的定数空間から連続的な区分的への射影であり、元の混合有限要素の定数カーネルはなくなりましたが、奇妙なことが起こりました（2）もう動作しません、私はからテスト問題を作り出しました

\overset{〜}{L} （ [あなたは 、 p] 、 [v 、 q] ） = L （ [あなたは 、 p] 、 [v 、 q] ） - \int_{Ω} （ p - Π_{1} p ） （ q - Π_{1} q ） = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$ 拡散方程式の界面問題、これは圧力で得られたもので、右の解は真の解、左の解は数値近似です：

p

$p$

ストークステスト1

ただし、が定数の場合、テストの問題は問題なく実行されます。 $\nu$ ストークステスト2

私はそれがシステム全体のinf-sup安定性とリンクしているので、互換性条件を課している方法のためであると推測しています、ここに私の2番目の質問があります：

（Q2）：圧力互換性を課す（2）以外の方法はありますか？または、テストの問題を作り出しながら、どのようなを使用する必要がありますか？ $p$ $p$

finite-element

— シュハオ・カオ
ソース

MathMLが機能しませんか？

— シュハオカオ

StackExchangeでMathJaXを使用しています。投稿されたすべてが美しく表示されています。詳細な質問に感謝します。

— アロンアーマディア

8

適合条件は、圧力ではなく速度に関するものです。速度にディリクレ境界条件しかない場合、これらは発散のない制約と互換性があるはずです。つまり、での境界計算領域（セルではありません）。 $\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

この場合、定数を修正するための境界条件がにないため、はとで任意の定数を区別できません。したがって、圧力に対する解決策は無限にあり、解決策を比較するためには慣習が必要です。数学者は、選択を好むよう物理学者が好む（これらは統合することができるので）それらはAで測定することができるので（をポイント）。が離散的な等価物である場合、 $\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$ アイデンティティベクトルで構成されるヌルスペースがあります。

クリロフ部分空間法は、解を探すクリロフ部分空間からヌル空間を削除することにより、特異システムを解決できます。ただし、それは特定の規則に一致する解を取得することを意味するものではなく、後処理ステップで定数を常に自分で決定する必要があります。ソルバーはあなたのためにそれを行うことができません。 $p$

問題に取り組むためのいくつかの提案があります：

式（2）は奇妙に思えます。場合の関数でありどのようにそれは、積分の外にすることができますか？ $\nu$ $x$
速度フィールドは互換性の制約を満たしていますか？
ただ思い付くするソルバー自由にさせ、圧力のために何かをしないようにしてください、そして見。それは定数ですか？ $p$ $p-p_\mathrm{exact}$
そうでない場合、のヌル空間は確かに恒等ベクトルであり、それ以上ではないことを確認しますか？紙とコードの両方で？問題は、実際にヌル空間を計算するのに十分小さいようです。 $B$

— クリス
ソース

2

（Q1）に関しては、システムの最小二乗解を計算するaddle点問題のソルバーを選択できます。次に、特定の自由度を設定する、特定の平均を課すなど、追加の条件を乗数に課すことができます。

一般に、これは答えだと思います（Q1）。異なる定数を区別できる線形制約を使用できます。

この制約は、後処理ステップで、または試行空間の適切な選択によって課される場合があります（たとえば、1自由度を省く場合）。

— シュハロ
ソース