タグ付けされた質問 「set-theory」

数学者は、選択の公理（AC）および決定の公理（AD）を心配することがあります。 選択の公理：任意の集合を考える空でない組は、関数があるセットが与えられると、そのにおける、メンバー返し。 f S C SCC{\cal C}fffSSSCC{\cal C}SSS 決定性の公理：を無限に長いビット文字列のセットとする。アリスとボブは、無限の文字列が構築されるまで、アリスが最初のビットを選び、ボブが2番目のビット選ぶというゲームをします。場合、アリスがゲームに勝ち、場合、ボブがゲームに勝ちます。仮定は、すべてのに対して、プレイヤーの1人に勝利戦略があるということです。（たとえば、がすべて1の文字列のみで構成されている場合、Bobは有限数の動きで勝つことができます。）B 1 、B 2、X = B 1 B 2 ⋯ X ∈ S X ∉ SSSSb1b1b_1b2b2b_2x = b1b2⋯x=b1b2⋯x = b_1 b_2 \cdots X ∈ Sx∈Sx \in SX ∉ Sx∉Sx \not \in S SSSSSSS これら2つの公理は互いに矛盾していることが知られています。（それについて考えるか、ここに行きます。） 他の数学者は、証明におけるこれらの公理の使用にほとんど注意を払っていません。私たちは主に有限のオブジェクトで作業していると考えているため、それらは理論的なコンピュータサイエンスとはほとんど無関係のようです。ただし、TCSは計算上の決定問題を無限ビット文字列と定義し、（たとえば）自然の漸近関数としてアルゴリズムの時間の複雑さを測定するため、これらの公理のいずれかの使用が忍び寄る可能性が常にありますいくつかの証拠に。 これらの公理の1つが必要な場所を知っているTCSで最も印象的な例は何ですか？（例を知っていますか？） 少しだけ予言するために、（すべてのチューリングマシンのセットに対する）対角化引数は、選択の公理の適用ではないことに注意してください。チューリングマシンが定義する言語は無限ビット文字列ですが、各チューリングマシンには有限の記述があるため、ここでは無限に多くの無限集合に対して選択関数を実際に必要としません。 （例がどこから来るのかわからないので、多くのタグを付けました。）

67 cc.complexity-theory  lo.logic  pl.programming-languages  big-picture  set-theory 

理論的なコンピューターサイエンスと数学の境界線は必ずしも簡単に区別できるとは限らないため、かなり曖昧な質問をするつもりです。 質問： CSでZFCに依存しない興味深い結果（つまり、標準集合理論）、またはZFCで最初に証明された（+その他の公理）であり、後にZFC alorneでのみ証明された興味深い結果を知っていますか？ 私は博士論文を終えようとしているので、私の主な結果（確率論的なモーダル -calculusに「ゲームセマンティクス」を与えるために使用されるゲームのクラスの決定性）が証明されているZFCでは、他の公理（つまり、Continuum仮説およびMartinの公理の否定）で拡張されました。μμ\mu¬CH¬CH\neg CH MAMAMA そのため、設定は明らかにコンピューターサイエンスです（モーダル -calculusは時相論理であり、確率システムで動作するように拡張しています）。μμ\mu 私の論文では、この種の他の例（もし知っているなら）を引用したいと思います。 前もって感謝します、 さようなら マッテオ

37 reference-request  lo.logic  set-theory 

私は集合論、順序理論、無限組み合わせ論、一般的なトポロジーに興味のある数学者です。 これらの科目にコンピューターサイエンスの用途はありますか？私は少し見て、有限グラフ理論、有限トポロジー、低次元トポロジー、幾何学的トポロジーなどの多くのアプリケーションを（もちろん）見つけました。 ただし、これらのサブジェクトの無限オブジェクト、つまり無限ツリー（たとえばアロンザジンツリー）、無限トポロジなどのアプリケーションを探しています。 何か案は？ ありがとうございました！！

15 set-theory  topology  topological-graph-theory 

Baker-Gill-SolovayとCohenが使用する強制方法に一般的に興味があります。私は、テクニック自体またはその使用に関して、手に入れることができる限り多くのソースを探しています。誰か提案がありますか？

15 cc.complexity-theory  set-theory 

私は、ひまわりシステムとコンピューターサイエンスにおけるその応用に興味があります。 宇宙所与のコレクションk個のセットA Iが呼び出され、K-ヒマワリ系統場合A 、I ∩ J = Y全てについてI ≠ J。そしてYは、コアと呼ばれるI - Yは、花びらと呼ばれています。 うんUUkkkA私AiA_iA私∩ Aj= YAi∩Aj=YA_i \cap A_j = Y i ≠ ji≠ji \neq jYYYA私− YAi−YA_i - Y セットのファミリーはs -uniform と呼ばれ、含まれるすべてのセットがs要素を所有します。FFFssssss ErdosとRadoは、セットF 均一なファミリに対して、Fがkヒマワリシステムの花びらを含まなければならないことを証明しました。F | > s ！（K - 1 ）です。sssFFFFFFkkk|F|>s!(k−1)s|F|>s!(k−1)s|F| > s!(k-1)^s この結果はヒマワリの補題と呼ばれ、多くの重要な用途があります。 オルドスはすべてのためと推測定数が存在するcはkは上限があるべきであるようにC 、S kのすべてがだ -uniform家族F。（ひまわりの予想）kkkckckc_kcskcksc_k^ssssFFF 残念なことに、この推測はまだ開いています。k=3k=3k=3 これが私が知りたいことです。 ユニバースの要素数を制限する場合 .Suppose …

11 co.combinatorics  set-theory 

私が理解しているように、コンピューターサイエンスのデータ型は、ラッセルのパラドックスなどの理由で集合論に基づいていませんが、実際のプログラミング言語のように、「自分自身を含まない集合」のような複雑なデータ型を表現することはできません実際には、型はそのメンバーの無限のセットであり、インスタンスのメンバーシップは、この型/セットに固有の機能の数によって定義されると言います（特定のプロパティ、メソッドの存在）？いいえの場合、反例は何でしょうか？

11 type-theory  set-theory  type-systems 

カンターの定理は、 どのセットAについても、Aのすべてのサブセットのセットのカーディナリティは、A自体よりも厳密に大きくなります。 ZFCセットを参照せずにタイプ/命題のみを使用してこのようなものをエンコードすることは可能ですか？この命題を従属的に型付けされた言語でエンコードするためのコードまたは疑似コードがいただければ幸いです。

9 type-theory  set-theory 

これは数学SEフォーラムで私が尋ねた質問であり、ここで紹介されました。だからここに質問があります 私は正式な数学と理論的なコンピュータサイエンスの両方の初心者です。質問が適切に構成されていない場合は、ご容赦ください。オブジェクト指向モデリングは、現実の世界をシミュレーションするときに複雑な相互作用を定義するのに非常に役立ちます。しかし、それは主にプログラミングで使用されます。数学にも同じような考え方があるのか​​と思っていました。プログラミングをしているとき、「オブジェクト」と「オブジェクト指向プログラミング」の概念を理解し、それを実装するだけです。しかし、集合論の観点から「オブジェクト」の正式な定義はありますか？それとも、他の正式な数学理論はありますか？ 3つの主要なオブジェクト指向モデリングの概念を実装/正式に定義できますか？1.カプセル化2.継承3.多態性 質問が広すぎることは承知していますが、これらの概念をよりよく理解できるように、いくつかの指針も提供していただければ幸いです。

9 pl.programming-languages  semantics  formal-modeling  set-theory  object-oriented 

私は普遍型と実存型の概念に頭を回そうとしていますが、どこを見ても、論理的または操作的な直観（または実装）（たとえば、B。PierceによるTAPL本）があります。 、しかし私は定義（それらをセットとして見ているところ）を見てみたい-そしてそれらから、いくつかの法則の導出、そして私たちの直感の正当化を見たい。 そのため、これらの定義を見つけることができないため、私は自分で決定することにしました。 ∃ X 。T DのEのF ：= ⋃ S - TのY用のp のE T [ X ：= S ]∀x.T:=def⋂S−typeT[x:=S]∀x.T:=def⋂S−typeT[x:=S]\forall x.T \overset{def}{:=} \bigcap_{S - type} T[x := S] ∃x.T:=def⋃S−typeT[x:=S]∃x.T:=def⋃S−typeT[x:=S]\exists x.T \overset{def}{:=} \bigcup_{S - type} T[x := S] しかし、前述のTAPLブックでは、この定義が与えられています（私はそれをアイデンティティと呼びます） ∃x.T:=def∀y.(∀x.T→y)→y(∗)∃x.T:=def∀y.(∀x.T→y)→y(∗)\exists x.T \overset{def}{:=} \forall y. (\forall x. T \rightarrow y) \rightarrow y \quad …

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