型理論におけるカントールの定理

カンターの定理は、

どのセットAについても、Aのすべてのサブセットのセットのカーディナリティは、A自体よりも厳密に大きくなります。

ZFCセットを参照せずにタイプ/命題のみを使用してこのようなものをエンコードすることは可能ですか？この命題を従属的に型付けされた言語でエンコードするためのコードまたは疑似コードがいただければ幸いです。

短い答え：はい！証明を通過するためにそれほど多くの機械は必要ありません。

一つ微妙：除外され、中央の使用があることは、それの顔に思える：1セットのビルドと数dはどちらかということ、そしてショーD ∈ DまたはD ∉ D矛盾につながります。しかし、直観主義的な論理に当てはまる、次のような補題があります。$D$$d$$d\in D$$d\not\in D$

通常の証明とともに、これで十分です。一般に、「サージェクション」は、建設的/直観的なロジック（選択なし）に微妙なニュアンスをもたらす可能性があるため、代わりに「正しい反転可能」を使用する必要があることに注意してください。

Coqの非常に標準的な証明（何らかの理由でオンラインで見つけることができなかった）は次のようになります。

Inductive right_invertible {A B:Type}(f : A->B):Prop :=
| inverse: forall g, (forall b:B, f (g b) = b) -> right_invertible f.


Lemma case_to_false :  forall P : Prop, (P <-> ~P) -> False.
Proof.
  intros P H; apply H.
    - apply <- H.
      intro p.
      apply H; exact p.
    - apply <- H; intro p; apply H; exact p.
Qed.


Theorem cantor :  forall f : nat -> (nat -> Prop), ~right_invertible f.
Proof.
  intros f inv.
  destruct inv.
  pose (diag := fun n => ~ (f n n)).
  apply case_to_false with (diag (g diag)).
  split.
  - intro I; unfold diag in I.
    rewrite H in I. auto.
  - intro nI.
    unfold diag. rewrite H. auto.
Qed.

もちろん、この証明を通過するための最小要件と見なすことができる、これらの問題について考える「正しい」フレームワークは、定理がすべてのデカルト閉じたカテゴリーで保持されていることを示すローヴェルの不動点定理です（特に、合理的な型理論では）。

Andrej Bauerがこの定理について論文「合成計算能力の固定小数点定理について」で美しく書いています。この答えに興味深いことがあると思います。