タグ付けされた質問 「combinatorial-game-theory」

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NP完全な自然に自然な問題はありますか？
自然数はビットシーケンスと見なすことができるため、自然数の入力は0-1シーケンスの入力と同じであるため、自然入力のNP完全問題が明らかに存在します。しかし、何らかの自然な問題、つまり、数字のエンコードと特別な解釈を使用しない問題はありますか？たとえば、「素数ですか？」これは自然な問題ですが、これはPにあります。または、「サイズ3、5、n、nのヒープでNimゲームに勝つのは誰ですか？」私が自然だと考える別の問題ですが、これがPにあることもわかっています。NPではなく他の複雑度クラスにも興味があります。 更新：EmilJeřábekが指摘し与えられが自然に対する解を持っているかどうかを決定することはNP完全です。これは、入力が1つではなく3つの数値であることを除いて、私が自然に考えていたものです。a,b,c∈N,a,b,c∈N,a,b,c\in \mathbb N,ax2+by−c=0ax2+by−c=0ax^2+by-c=0 更新2：そして、4年以上待った後、ダンブルムレーヴは「より良い」ソリューションを提供しました-ランダム化された削減のため、まだ完全ではないことに注意してください。
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順列ゲームの冗長化
これは以前の質問の言い換えです。 2人のプレーヤー、アリスとボブの間の次の公平で 完璧な情報ゲームを考えてみましょう。プレーヤーには、整数1〜nの順列が与えられます。各ターンで、現在の順列が増加している場合、現在のプレイヤーが負け、他のプレイヤーが勝ちます。そうでない場合、現在のプレーヤーは数字の1つを削除し、プレイは他のプレーヤーに渡されます。アリスが最初にプレイします。例えば： （1,2,3,4）—定義により、ボブはすぐに勝ちます。 （4,3,2,1）—誰がどのようにプレイしても、アリスは3ターン後に勝ちます。 （2,4,1,3）—ボブは、アリスのプレイ方法に関係なく、最初のターンで勝つことができます。 （1,3,2,4）— 2または3を削除すると、アリスがすぐに勝ちます。それ以外の場合、ボブは最初のターンで2または3を削除して勝つことができます。 （1,4,3,2）—アリスは、最初のターンで1を取ると最終的に勝ちます。それ以外の場合、ボブは最初のターンで1を削除しないことで勝つことができます。 完全なプレイを想定して、与えられた開始順列からこのゲームに勝つプレイヤーを決定する多項式時間アルゴリズムはありますか？より一般的には、これは標準的な公平なゲームであるため、すべての順列にはSprague–Grundy値があります。たとえば、（1,2,4,3）の値は* 1で、（1,3,2）の値は* 2です。この値を計算するのはどれくらい難しいですか？ 明らかなバックトラッキングアルゴリズムはO（n！）時間で実行されますが、これは動的プログラミングにより時間に短縮できます。O （2nP O LのY（n ））O(2npoly(n))O(2^n poly(n))
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マフィアの難易度は？
マフィアはパーティーで人気のロールプレイングゲームです。詳細な説明はウィキペディアhttp://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29で入手できます。 基本的に、次のように機能します。 最初は、人のプレイヤーのそれぞれに、マフィアまたは町に合わせて密かに役割が割り当てられます。各役割には特別な能力があります。それについては後で。NNN 2つのゲームフェーズがあります：昼と夜。夜に、マフィアは互いに密かに通信できます。そして、彼らはその夜に殺害する1人のターゲットプレーヤーに同意するかもしれません。Dayでは、すべての（生きている）プレイヤーがオープンフォーラムで通信します。プレーヤーは、1人のプレーヤーをリンチすることに同意する場合があり、すべてのプレーヤーの絶対過半数が必要です。 マフィアだけが残っている場合、または町だけが残っている場合、ゲームは終了します。生き残ったパーティーが勝ちます。 Citizen、Investigator、Mafiosoの3つの役割があると仮定しましょう。市民には力がありません。Mafiosiには、夜間に互いに通信し、毎晩1人の殺人被害者に投票する以外の能力もありません。調査員は、毎晩他の1人のプレーヤーを調査して、正確な役割を調べることができます。 ゲームは日から始まり、プレイヤーの役割は死亡時に明らかになると仮定します 勝利戦略 i Investigators、c Citizen、およびm Mafiosiのセットアップを考えると、タウンプレーヤーに戦略があれば、セットアップはタウンに勝っていると言います。マフィアが演じます。（i 、c 、m ）（私、c、m）(i,c,m)私私icccmmm 我々が考慮したいので、私たちは、マフィアが完全な情報を担っていると仮定できることに注意してくださいすべての彼らが作ることができます決定。 例：セットアップ（4 、1 、1 ）（4、1、1）(4,1,1)町のために勝利します。 1日目：すべてのタウンプレイヤーは、オープンチャットでの役割を正直に報告します。マフィアのプレイヤーは捜査官か市民のどちらかであると主張しなければなりません。 彼が市民を主張する場合、マフィアは2人の疑いのある市民の1人です。各調査員はどちらかを調査でき、真の調査員を見つけます。せいぜい1人の捜査官が夜に死ぬことができます、そして、他の2人は単にマフィアを掛けます。 したがって、マフィアは捜査官を主張しなければなりません。5人の疑いのあるInvesigatorsがいます。公開チャットでは、調査員は互いを確認するための順列に同意します。 夜1：捜査官はターゲットを確認し、マフィアはターゲットを殺します。 2日目： 3人の調査員が残っています。疑惑のある捜査官全員が調査結果を報告します。誰が殺されたとしても、そのうちの少なくとも1人は別の生きている調査員によって確認されます。マフィアは捜査官を主張したので、彼は彼の割り当てられた標的がマフィアであったかどうかも言う必要があります。彼が誰かをフレームに入れると、タウンは、彼またはフレームに入れられたものがマフィアであることを、他の確認された3タウンに対して知っています。彼が誰もフレームに入れない場合、3つの確認された町もあります。いずれにせよ、誰にもぶら下げずに、残っている容疑者2人だけを調査することでTownが勝ちます。 ご質問 与えられたセットアップがTownの勝利戦略を受け入れるかどうかを判断するのはどれくらい難しいですか？直感的には、これはPSPA CEPSPACEPSPACE完全な問題のます。誰かが削減を考え出すことができますか？ 最小限の勝利セットアップを見つけることができますか？比率または（i + c ）：mを最小化できますか？i ：m私：mi:m（i + c ）：m（私+c）：m(i+c):m
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ドラキュラゲーム
背景 この質問は、「ドラキュラ」と呼ばれるボードゲームによって動機付けられています。このゲームでは、吸血鬼が1人とハンターが4人います。ハンターの目的は吸血鬼を捕まえることです。ゲームはヨーロッパで行われます。ゲームは次のようになります 。1.ハンタープレイヤーはすべてのハンターを都市に置きます。同じ都市に複数のハンターを配置できます。 2.吸血鬼プレイヤーは吸血鬼を都市に置きます。 3.プレイヤーは、クリーチャーを隣接する都市に交互に移動します。 4.ハンタープレイヤーは自分の順番で、好きなだけハンターを移動できます。 5.主な難点は、吸血鬼のプレイヤーは常にハンターのいる場所を知っているが、ハンタープレイヤーは吸血鬼の開始位置のみを知っていることです。 6.ハンターと吸血鬼が都市で会うとき、吸血鬼プレーヤーは負けます。 質問 与えられたグラフと数字nおよびkに対して、nハンターを制御するハンタープレイヤーがkターン未満で吸血鬼を捕まえることを保証する戦略はありますか？Gは平面であると仮定できます。この問題は研究されましたか？いくつかの参考文献をいただければ幸いです。GGGnnnkkknnnkkkGGG
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2-CNFまたは2-SATで表現可能なプロパティ
特定のプロパティが2-CNF（2-SAT）で表現できないことをどのように示しますか？小石ゲームなどのゲームはありますか？古典的な黒の小石ゲームと黒と白の小石ゲームはこれには適さないようです（HertelとPitassi、SIAM J of Computing、2010によると、これらはPSPACE完全です）。 またはゲーム以外のテクニックはありますか？ 編集：未知の述語（有限モデル理論家が言うように、SO述語）のカウント（またはカーディナリティ）を含むプロパティを考えていました。たとえば、クリークまたは重みのないマッチングのように。（）クリーク：クリークあり所与のグラフのGように| C | ≥与えられた数K？（b）はマッチング：一致ありMにおけるGは、そのようなこと| M | ≥ K？CCCGGG|C|≥|C|≥|C| \geKKK ~MMMGGG|M|≥K|M|≥K|M| \ge K 2-SATはカウントできますか？カウント機構はありますか？疑わしいようです。
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ゲームのシュールな数値の実装
コンウェイによる超現実的な数の非常に素晴らしい構造があります。これらは、実数と序数の両方を含む「数字」であり、完全に順序付けられ、フィールドのすべてのプロパティを持ちます（セットではなくクラスを形成します）。 たとえば、このPDFまたはWikipediaを参照してください。 それらは、いわゆる「ゲーム」にさらに一般化することができます。これは、もともと組み合わせゲームを研究するために導入されました。Conwayの当初の動機はGoのゲームを分析することでした。特にエンドゲームは「シュールなゲーム」でモデル化するのに特に適しています。 私の質問は、ゲームでのレベルを向上させるためにAI（コンピュータープレーヤー）にこのアプローチを実装した人がいるかどうか知っていますか？Goの場合は特に興味がありますが、他の場合も同様です。そうでない場合、障害またはそれが良いアイデアではない理由がありますか？
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「エッジまたは孤立頂点」削除ゲームの勝利戦略
この完璧な情報ゲームは、グラフ上でプレイされていることを知っていますか？ グラフ与えられると、2人のプレーヤーがエッジまたは孤立ノードを交互に選択します。プレイヤーがエッジすると、2つのノードおよびは、それらの入射エッジとともに削除されます。プレイヤーが孤立したノードを選択すると、ノードは削除されます。最初に移動できないプレイヤーはゲームに負けます。 G=(V,E)G=(V,E)G= (V,E)u ve=(u,v)e=(u,v)e = (u,v)uuuvvv 勝者を見つけることの複雑さは何ですか？ 同様のゲームへの参照はありますか？
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トリプレットのゲームでの勝利戦略
トリプレットのゲームは、要素の有限セットと、要素のトリプレットを含む有限のマルチセットによって定義されます。2人のプレイヤーが交代でXから要素を選択し、すべての要素を取得します。次に、各プレーヤーのスコアは、Tからのトリプレットの数であり、Tには少なくとも2つの要素があります。XXXTTTXXXTTT 標準の戦略を盗む引数は、最初のプレーヤーが常に少なくとも|T|/2|T|/2|T|/2獲得できることを示しています。それが偽であると矛盾して仮定します。次に、2番目のプレーヤーは|T|/2|T|/2|T|/2超えるスコアを獲得できます。しかし、その後、最初のプレーヤーは、2番目のプレーヤーの勝利戦略をコピーして、|T|/2|T|/2|T|/2以上のスコアを獲得できます。スコアの合計が|T||T||T|であるため、これは矛盾です。。 質問：最初のプレーヤーが少なくとも|T|/2|T|/2|T|/2スコアを得るための明示的な戦略は何ですか？ 編集：最初のプレーヤーが少なくとも3|T|/83|T|/83|T|/8を得るための明示的な戦略は次のとおりです。TTT各トリプレットに、（最初、2番目の）プレーヤーが取った要素の数に基づいて、潜在的なP(a,b)P(a,b)P(a,b)を割り当てます。 a↓b→012303/83/411101/2120030a↓b→012303/800013/41/2021131\begin{matrix} \bf a \downarrow b \rightarrow & \bf 0 & \bf 1 & \bf 2 & \bf 3 \\ \bf 0 &3/8&0& 0 & 0 \\ \bf 1 &3/4&1/2& 0 & \\ \bf 2 & 1 & 1 & & \\ \bf 3 & 1 & …
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