「エッジまたは孤立頂点」削除ゲームの勝利戦略

この完璧な情報ゲームは、グラフ上でプレイされていることを知っていますか？

グラフ与えられると、2人のプレーヤーがエッジまたは孤立ノードを交互に選択します。プレイヤーがエッジすると、2つのノードおよびは、それらの入射エッジとともに削除されます。プレイヤーが孤立したノードを選択すると、ノードは削除されます。最初に移動できないプレイヤーはゲームに負けます。 $G= (V,E)$ $e = (u,v)$ $u$ $v$

勝者を見つけることの複雑さは何ですか？

同様のゲームへの参照はありますか？

reference-request combinatorial-game-theory

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

隔離されたノードが選択された場合、削除されると思いますか？その場合、プレーヤー0は、最初の動きを費やして問題を2つの等しいコンポーネントに分割し、それから反対側のコンポーネントの動きをミラーリングして同型性を維持することにより、すべての空でないパスでも勝ちます。これは、プレーヤー1がサイクルで勝利することを意味します。最初の動きで問題がパスに減少するためです。

— ヨナタンN

@YonatanN：はい、孤立したノードを選択（および削除）できます。ただし、シンメトリ戦略は偶数のパスで機能します（プレーヤー0は最初の動きとして2つの中央ノードを選択し、プレーヤー1の動きをミラーリングします）が、奇数の長さのパスでは機能しません。 11、それは動作しません（長さ11のパスの場合、勝者はプレイヤー1です）。

— マルツィオ

@Marzio De Biasi：すみませんが、素敵なゲームをプレイするときは、通常手でプレイします。私がミスをしない限り、プレイヤー0には勝利戦略があります。a）P1、P2、P5、およびP8では、プレイヤー0が常に勝ちます。b）P3およびP7では、プレーヤー1が常に勝ちます。c）P4およびP6の場合、プレーヤー0は勝ち負けを決めることができます。P11の場合：-v11、v2、... v11でP11のノードに番号を付けます。-プレーヤー0はエッジv9、v10を使用し、残りは分離ノードv11およびP8です。プレーヤー1がv11を使用する場合、プレーヤー0は偶数パスを持っているため、プレーヤー0が勝ちます。それ以外の場合、プレーヤー0はa）、b）、c）で勝ちます。

— user13136

私のプログラムによれば、最初のプレイヤーがn頂点のあるパスでゲームで負けるようなn≤100の値は、3、7、23、27、37、41、57、61、71、75、91、および95.残念ながら、奇妙なパターン（既に知られている）以外のパターンは見当たらず、OEISには一致が表示されません。

— 伊藤剛

@TsuyoshiIto：...ペアワイズの差を取ります：（3 7）（23 27）（37 41）（57 61）（71 75）（91 95）そして4 4 4 4 4 4が得られます...パターン:-) ....（3 ... 23）...（37 ... 57）...（71 ... 91）そして、20 20 20 ...別のものを取得します！:-D

— マルツィオ・デ・BIASI

質問とは区別するためにのみ、自己回答として更新を投稿します（質問はまだ開いています）。

コメントに示されているように（伊藤剛のおかげ）、この問題はパスについて多項式時間で解ける：

$Win(P_n) = 1$ $(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

0から始まる、nim値の（計算された）シーケンスは周期的です：

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

私は厳密な数学的証明には取り組みませんでしたが、アイデアは次のとおりです。

要素を計算するとし、最初の移動（エッジを選択）はパスを異なる方法で分割できます（n-2,0）、（n-3、 1）、（n-4,2）、...）。新しいnim値は次と等しくなります。 $Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

セットの最初の34個の要素は、最初の非反復シーケンス（0,1,1,0、...）（nim）によって生成され、要素。 $(34-2-x) \bmod 34$

たとえば、： $x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

x = 0..33の場合、結果のmexシーケンスは繰り返しシーケンスと等しくなります。

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

セットの残りの要素は、繰り返しシーケンスでのみ計算されます：（、ペアが繰り返されるため、 mexの結果は変わりません）。x = 0..33の結果のmexシーケンスは次のとおりです。 $rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$ $j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

これは、およびを除いて、繰り返しシーケンスと同じです。ただし、値は非反復シーケンスの対応するmexよりも低いため、次のようになります。 $x=16$ $x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ = $mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

および場合、 $(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

私の計算によると、最初のプレイヤーは勝ち戦略を持ち、あなたの主張に反例を与えます iff。

P_{23}

$P_{23}$

W i n (P_{n}) = 1

$Win(P_n)= 1$

(n \mod 34) \in {3, 7, 23, 27}

$(n \mod\, 34) \in \{3, 7, 23, 27\}$

— user13136

@ user13136：nim値を確認しましたか？ため NIM値が0である（私は別のプログラムに剛の同じ値を持って、おそらく我々は両方とも間違っています）。

P_{23}

$P_{23}$

— マルツィオデビアージ

あなたのプログラムの潜在的な欠陥は無視することであると思います。その場合、最初のプレイヤーは常に負けます。必要に応じて、今すぐケース再生できます。

P_{0}

$P_0$

P_{23}

$P_{23}$

— user13136

申し訳ありませんが、今すぐ出発しなければなりません。

— user13136

(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})

$(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})$ （移動を含む以前のコメントを削除できます）

— マルツィオデビアージ