マフィアの難易度は？

マフィアはパーティーで人気のロールプレイングゲームです。詳細な説明はウィキペディアhttp://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29で入手できます。

基本的に、次のように機能します。

• 最初は、人のプレイヤーのそれぞれに、マフィアまたは町に合わせて密かに役割が割り当てられます。各役割には特別な能力があります。それについては後で。$N$

• 2つのゲームフェーズがあります：昼と夜。夜に、マフィアは互いに密かに通信できます。そして、彼らはその夜に殺害する1人のターゲットプレーヤーに同意するかもしれません。Dayでは、すべての（生きている）プレイヤーがオープンフォーラムで通信します。プレーヤーは、1人のプレーヤーをリンチすることに同意する場合があり、すべてのプレーヤーの絶対過半数が必要です。

• マフィアだけが残っている場合、または町だけが残っている場合、ゲームは終了します。生き残ったパーティーが勝ちます。

• Citizen、Investigator、Mafiosoの3つの役割があると仮定しましょう。市民には力がありません。Mafiosiには、夜間に互いに通信し、毎晩1人の殺人被害者に投票する以外の能力もありません。調査員は、毎晩他の1人のプレーヤーを調査して、正確な役割を調べることができます。

• ゲームは日から始まり、プレイヤーの役割は死亡時に明らかになると仮定します

勝利戦略

i Investigators、c Citizen、およびm Mafiosiのセットアップを考えると、タウンプレーヤーに戦略があれば、セットアップはタウンに勝っていると言います。マフィアが演じます。$(i,c,m)$$i$$c$$m$

我々が考慮したいので、私たちは、マフィアが完全な情報を担っていると仮定できることに注意してくださいすべての彼らが作ることができます決定。

例：セットアップ$(4,1,1)$町のために勝利します。

1日目：すべてのタウンプレイヤーは、オープンチャットでの役割を正直に報告します。マフィアのプレイヤーは捜査官か市民のどちらかであると主張しなければなりません。

彼が市民を主張する場合、マフィアは2人の疑いのある市民の1人です。各調査員はどちらかを調査でき、真の調査員を見つけます。せいぜい1人の捜査官が夜に死ぬことができます、そして、他の2人は単にマフィアを掛けます。

したがって、マフィアは捜査官を主張しなければなりません。5人の疑いのあるInvesigatorsがいます。公開チャットでは、調査員は互いを確認するための順列に同意します。

夜1：捜査官はターゲットを確認し、マフィアはターゲットを殺します。

2日目： 3人の調査員が残っています。疑惑のある捜査官全員が調査結果を報告します。誰が殺されたとしても、そのうちの少なくとも1人は別の生きている調査員によって確認されます。マフィアは捜査官を主張したので、彼は彼の割り当てられた標的がマフィアであったかどうかも言う必要があります。彼が誰かをフレームに入れると、タウンは、彼またはフレームに入れられたものがマフィアであることを、他の確認された3タウンに対して知っています。彼が誰もフレームに入れない場合、3つの確認された町もあります。いずれにせよ、誰にもぶら下げずに、残っている容疑者2人だけを調査することでTownが勝ちます。

ご質問

• 与えられたセットアップがTownの勝利戦略を受け入れるかどうかを判断するのはどれくらい難しいですか？直感的には、これは$PSPACE$完全な問題のます。誰かが削減を考え出すことができますか？
• 最小限の勝利セットアップを見つけることができますか？比率または（i + c ）：mを最小化できますか？$i:m$$(i+c):m$

参照したいリファレンスは次のとおりです。 。http //www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

マフィア：部分的な情報環境におけるプレイヤーと連合の理論的研究Braverman、M. and Etesami、O. and Mossel、E. The Annals of Applied Probability 2008

まず、タウンの決定的な勝利戦略を探している場合は、各市民にそれぞれの役割を尋ねてゲームを開始することが常に有益であることに注意してください。これは、Mafiosiが何を宣言したとしても、タウンが勝ったとしても、質問することは明らかに害がないからです。そして、マフィアが自分で何かを宣言し、その場合に勝つことができるなら、彼らは宣言をしたふりをして、それに応じて行動します。

また、このようなゲームは、基礎となる構造がないため、おそらくPSPACE完全ではありません。i、c、mのすべての値についてゲームを分析することは難しくないと信じています。以下では、m = 1でこれを行います。だから、これからマフィアが一人だけいると仮定しましょう。Mは役割を尋ねることから始まります。現在、Mは捜査官または市民のいずれかを主張しています。両方のケースをチェックしましょう。

ケース1：Mクレーム調査員

i = 0の場合、cが2以上であればTownが勝ちます。

i = 1の場合、cが4以上であればTownが勝ちます。小さい数字の場合、Mは毎晩市民を殺すことができるため負けます。

i = 2の場合、cが少なくとも3であればTownが勝ちです。3人の疑惑のある捜査官は、順番にお互いに質問できます。Mは、そのうちの1人が死亡しない限り明らかにされるため、調査員を殺さなければなりません。これにより、ゲームはi = 1になります。

i = 3の場合、cが少なくとも1であればTownが勝ちです。4人の疑惑のある捜査官は、巡回順序で互いに質問できます。Mは、そのうちの1人が死亡しない限り明らかにされるため、調査員を殺さなければなりません。現在、Mには（最大で）2つの可能性があり、少なくとも5人が残っているため、両方を殺すことができます。c = 0の場合、相互にどのように質問しても、Mは常に誰かを殺し、隠れている（ケース分析により）ことができるため、タウンには決定論的な勝利はありません。

i> = 4の場合、i = 3の場合のように、調査対象の疑惑者が円形の順序でお互いに質問することでTownが勝ちます。

ケース2：Mが市民を主張

ここでは、ゲームははるかに単純で、調査官は毎回異なる人に尋ね、Mは毎晩彼らの1人を殺します（市民よりも捜査官を殺す方が常に良いです）。また、時々、彼らは市民を殺すために投票するかもしれません（実際、i = 2とc = 1でない限り、そうすることはいつでも大丈夫です）。再帰を使用するため、市民が無実であることが証明され、その数をnで示すことも許可する方がよいでしょう。

町が勝ったら

i = 0、n> = c + 2、i = 1、n> = c + 1、i = 2、n> = c-2。ここから、一般的なi Town n> = c + 2-i ^ 2の場合にのみ勝ちます。実際のゲームでは、最初は無実の市民はいないため、i ^ 2> = c + 2の場合はタウンが勝ちます。

まとめると、i <= 2の場合、タウンには決定論的な勝利はありません。i = 3の場合、タウンは1 <= c <= 7で勝ちます（0 Mは調査者を主張でき、c> = 8の場合は市民を主張できます）。i> = 4の場合、c <= i ^ 2-2でTownが勝ちます。