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1980年代、Razborovは、計算に指数関数的に多くのANDおよびORゲートを必要とする明示的な単調なブール関数（CLIQUE関数など）があることを有名に示しました。ただし、ブールドメイン{0,1}の基底{AND、OR}は、普遍的ではない興味深いゲートセットの一例にすぎません。これは私の質問につながります： 興味深いことに、モノトーンゲートとは異なる、ゲートサイズの指数関数的な下限が知られているゲートのセットはありますか（回路に深さや他の制限はありません）。そうでない場合、そのような下限の妥当な候補であるゲートのセットはありますか？Razborovの単調な回路の結果がそうでなかったように、必ずしもNatural Proofsバリアを突破する必要がない境界はありますか？ このようなゲートセットが存在する場合、k≥3の場合、k-aryアルファベットを超えます。その理由は、バイナリアルファベット上で、 （1）モノトーンゲート（{AND、OR}）、 （2）線形ゲート（{NOT、XOR}）、および （3）ユニバーサルゲート（{AND、OR、NOT}） Postの分類定理から次のように、基本的に興味深い可能性を使い果たします。（定数-バイナリの場合は0および1-は常に無料で利用できると仮定していることに注意してください。）線形ゲートでは、すべてのブール関数f：{0,1} n →{0,1}計算可能は、線形サイズの回路で計算可能です。もちろん、普遍的なセットで、私たちは自然な証明と他の恐ろしい障壁に立ち向かっています。 一方、3シンボルまたは4シンボルアルファベット（たとえば）を超えるゲートセットを考慮すると、より幅広い可能性のセットが開かれます-少なくとも私の知る限り、それらの可能性は完全にマップされたことはありません複雑性理論の観点から（私が間違っている場合は修正してください）。可能性のあるゲートセットは、普遍代数の「クローン」の名前で広く研究されていることを知っています。その分野の結果が回路の複雑性に何を意味するのかを知っているように、私はその文献にもっと精通していたらと思います。 いずれにせよ、ゲートセットのクラスを単純に検討したい有限のアルファベットに拡張すれば、証明に適した他の劇的な回路下限が存在することは問題のようには見えません。私が間違っている場合、理由を教えてください！

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ライアン・ウィリアムズは、すべての可能なmについて、アンバウンドのファンインとゲートAND、OR、NOT、およびMOD_mを使用して一定の深さの回路を持つ問題のクラスであるACCに下限を投稿しました。 MOD_mゲートの特別な点は何ですか？ これにより、任意のリングZ_mで算術をシミュレートできます。 ライアンの結果の前に、MOD_mゲートをミックスにスローすると、既知の下限が機能しなかった最初のクラスが得られました。 MOD_mゲートを研究する他の自然な理由はありますか？

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QiChengによる「未解決のNC 0回路が順列を計算するかどうかを決定する」という質問の特別なケースについてお聞きしたいと思います。 各出力ゲートが最大k個の入力ゲートに構文的に依存する場合、ブール回路はNC 0 k回路と呼ばれます。（非巡回有向グラフとして見られるように、回路にgからgへの有向パスがある場合、出力ゲートgは構文的に入力ゲートgに依存すると言います。） 前述の質問で、QiChengは次の問題の複雑さについて尋ねました。ここで、kは定数です。 インスタンス：nビット入力およびnビット出力のNC 0 k回路。質問：与えられた回路は{0、1} nの順列を計算しますか？換言すれば、回路全単射によって計算関数は、{0、1}であるNに{0、1} N？ Kavehがその質問についてコメントしたように、問題がcoNPにあることは容易にわかります。答えとして、問題はk = 5の場合coNP-complete であり、k = 2の場合Pにあることを示しました。 質問。k = 3の複雑さは何ですか？ 2013年5月29日の説明：「{0、1} nの順列」は、{0、1} nからそれ自体への全単射マッピングを意味します。言い換えれば、問題は、すべてのnビット文字列が特定のnビット入力文字列の特定の回路の出力であるかどうかを尋ねます。

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1941年にEmil Postによって記述されたPostのラティスは、基本的に、合成の下で閉じられるブール関数のセットの完全な包含図です。たとえば、単調関数、GF（2）上の線形関数、およびすべての関数です。（Postは、定数0と1が無料で利用可能であると想定していなかったため、そうでない場合よりも格子がはるかに複雑になりました。） 私の質問は、トフォリ門やフレドキン門など、古典的なリバーシブル門に類似したものがこれまでに公開されているかどうかです。つまり、{0,1} nの可逆変換のクラスは、可逆ゲートのコレクションによって生成できますか？あなたが0にancillaビットの数は無制限、いくつかのプリセットを許可されている他は、1に予め設定：ここでのルールがある限り、すべてのancillaビットが{0,1}のあなたの転換後と初期設定に戻されてn個です終わった。 また、2ビットのSWAP（つまり、インデックスの再ラベル付け）は常に無料で利用できます。これらのルールの下で、私の学生であるルークシェーファーと私は、次の10セットの変換を特定することができました。 空のセット NOTゲートによって生成されたセット NOTNOTによって生成されたセット（つまり、2つのビットにNOTゲートが適用されます） CNOTによって生成されたセット（つまり、Controlled-NOTゲート） CNOTNOTによって生成されたセット（つまり、1番目のビットが1の場合、2番目と3番目のビットを反転します） CNOTNOTおよびNOTによって生成されたセット Fredkin（つまり、Controlled-SWAP）ゲートによって生成されたセット FredkinおよびCNOTNOTによって生成されたセット Fredkin、CNOTNOT、およびNOTによって生成されたセット すべての変換のセット 残っている家族を特定し、分類が完了したことを証明したいのですが、それに時間を割く前に、以前に誰かがそれを行ったかどうかを知りたいと思います。

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ましょうマッピング関数である -ゲート回路にビットとビット列XのC （Xが）。回路が割り当ての非循環シーケンスとしてエンコードされると仮定します。k ：= g （i 、j ）ここで、i 、j 、kはワイヤラベルです。 sCnnCircuitEvals,nCircuitEvals,n\mathsf{CircuitEval}_{s, n}sssCCCnnnnnnxxxC(x)C(x)C(x)k:=g(i,j)k:=g(i,j)k := g(i, j)i,j,ki,j,ki, j, k これはちょっとおかしい質問ですが、この問題の回路の複雑さの最もよく知られている上限は何ですか？この関数を計算するシングルテープTMがあるため、フィッシャー・ピッペンガーのシミュレーションでは、サイズO （（s + n ）2 log （s + n ））で十分です。二次は、前後にシークしなければならないことに由来します。もっと良くすることは可能ですか？サイズO （s + n ）で行うことは可能ですか？O((s+n)2)O((s+n)2)O((s + n)^2)O((s+n)2log(s+n))O((s+n)2log⁡(s+n))O((s + n)^2 \log(s + n))O(s+n)O(s+n)O(s + n)

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ましょう大部分の機能、すなわち、であるF （X ）= 1の場合に限りΣ N iが= 1、X I > N / 2。次の事実の単純な証拠があるのだろうかと思っていました（「単純」とは、Valiant 84のような確率的手法やネットワークのソートに依存しないことを意味します。f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}f(x)=1f(x)=1f(x) = 1∑ni=1xi>n/2∑i=1nxi>n/2\sum_{i = 1}^n x_i > n/2 は、 O （log （n ））深さ、poly（n）サイズの回路ファミリで計算できます。ここで、ゲートはNOTゲート、2入力ORゲート、2入力ANDゲートで構成されます。fffO(log(n))O(log⁡(n))O(\log(n))

13 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  circuit-families  circuit-depth 

簡単に言えば、オラクルを使用したチューリングマシンと、オラクルを使用した均一な回路ファミリとの対応は何ですか？特定のオラクルチューリングマシンに対して、同じ計算モデルを取得するために、後者はどのように定義されますか？ これは基本的な質問かもしれませんが、どこを見るかは明らかではありません。私は、私の財団が良質のモルタルを使用していることを確認したい人です。標準的な参照がある場合は、それを指摘してください。（たとえば、Papadimitriouの本は、神託を持つ回路をまったく説明していないようです。） 私の作業仮説は次のとおりです。オラクルにアクセスできる（たとえば、NP完全問題を解くための）均一な回路ファミリは次のように定義されます。 「オラクルゲート」O nの無限ファミリーを定義します。 各回路サイズnに1つずつ、それぞれが関数f nを計算します ： 定数cに対して{0,1} cn →{0,1}。 関数f NはオラクルゲートOによって計算N以下の意味で"均一"でなければならない：任意のnについて<NとX ∈{0,1} N、我々はF必要N（Xの）= F N（0 C（ N−n） x ）---つまり、oracleゲートは、入力の一貫した拡張可能な「エンコード」を使用する必要があります。 次に、オラクルゲートが回路に対して許可される操作の1つである均一な回路ファミリを定義し、入力サイズnの回路をゲートO nを使用するように制限します。 上記の選択肢のいくつかは、一般性を失うことなく任意に修正できると思います。私が興味を持っているのは、通信のリファレンス、または少なくとも上記の説明を変更して標準の説明を取得する方法の説明です。

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正確な量子アルゴリズムに関するアイデアを検討しています。特に、制限の可能性を検討してEQPEQP\mathsf{EQP}います。これは、任意の有限ゲートセット上のポリタイム均一量子回路ファミリによって正確に決定可能な言語で構成されています。 F N = 1で与えられる量子フーリエ変換（QFT） 量子計算理論の有名な一部です。以下の場合には N = 2 Nの周知の分解がある F Nは、 SWAPゲートは、Hadamardsに、斜めゲート C Z 2 T = D I G（1 、1 、1 、E 2 π I / 2 TFN=1N−−√⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1111⋮11ωω2ω3⋮ωN−11ω2ω4ω6⋮ωN−21ω3ω6ω9⋮ωN−3⋯⋯⋯⋯⋱⋯1ωN−1ωN−2ωN−3⋮ω(N−1)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥for ω=e2πi/N,FN=1N[1111⋯11ωω2ω3⋯ωN−11ω2ω4ω6⋯ωN−21ω3ω6ω9⋯ωN−3⋮⋮⋮⋮⋱⋮1ωN−1ωN−2ωN−3⋯ω(N−1)2]for ω=e2πi/N, F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & …

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