次数

正確な量子アルゴリズムに関するアイデアを検討しています。特に、制限の可能性を検討して $\mathsf{EQP}$ います。これは、任意の有限ゲートセット上のポリタイム均一量子回路ファミリによって正確に決定可能な言語で構成されています。

で与えられる量子フーリエ変換（QFT）量子計算理論の有名な一部です。以下の場合にはの周知の分解がある SWAPゲートは、Hadamardsに、斜めゲート

F_{N} = \frac{1}{\sqrt{N}} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & ω^{3} & \dots & ω^{N - 1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & ω^{6} & \dots & ω^{N - 2} \\ 1 & ω^{3} & ω^{6} & ω^{9} & \dots & ω^{N - 3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & ω^{N - 1} & ω^{N - 2} & ω^{N - 3} & \dots & ω^{(N - 1)^{2}} \end{matrix}] for ω = e^{2 π i / N},

$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$

N = 2^{n}

$N = 2^n$

F_{N}

$F_N$

{C Z}_{2^{T}} = d i a g (1, 1, 1, e^{2 π i / 2^{T}})

$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$

T ⩾ 1

$T \geqslant 1$

E Q P ∖ P

$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$

F_{2^{n}}

$F_{2^n}$

{C Z}_{2^{n}}

$\mathrm{CZ}_{2^n}$

明らかに、Solovay–Kitaevの定理により、ゲートまたは、逆で閉じられたほぼ普遍的なゲートセットで任意に近似することができます。私が知りたいのは、これらの演算子群を正確に実現できる有限ゲートセットがあるかどうか、または、そのような有限ゲートセットが存在しないという証拠があるかどうかです。 $F_{2^n}$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$

質問。 分解は、有限ゲートセット上のポリタイム均一回路ファミリとしてありますか、またはこれが不可能であるという証拠がありますか？ $\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$

quantum-computing circuit-families

— ニール・ド・ボードラップ
ソース

いいえ、ファミリを単一の有限ゲートセットに分解することはありません。その理由は次のとおりです。 $\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

QFTには、有理数の複素代数的閉包である上の係数のみが含まれます。[ Adleman + Demarrais + Huang–1997 ]と同様に、超越数を含むゲートを使用する場合、超越数の最小セットを選択し、ゲート係数を記述することができます基本的に有理関数として。QFTをこのようなゲートの製品として取得するには、すべての超越コンポーネントをキャンセルする必要があります（各ゲートが単一であることを保証するために同様のことが発生する必要があります）。しかし、その後、すべての超越論者を置き換えることもできます $\overline{\mathbb Q}$ $\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$ $\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$ $0$ 、すべての係数が代数的であるように。したがって、一般性を失うことなく、代数的ゲートセットに限定します。

有限のゲートセットの係数は上すべての有限度拡張に含めることができる一つは延長することによって構築することができる、、それらの非常に係数によって。ただし、ゲートには、明らかに次の上のフィールド拡張に属する係数があります。したがって、次数のQFTファミリは、有限のゲートセットに分解されません。 $\overline{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\mathrm{CZ}_{2^n}$ $\mathbb Q$ $2^{n-1}$ $2^n$

当然の結果として、に無制限サイズの巡回リング上のQFTに依存するアルゴリズムを持つことを期待することはできません。 $\mathsf{EQP}$

— ニール・ド・ボードラップ
ソース