リバーシブルゲートの分類

1941年にEmil Postによって記述されたPostのラティスは、基本的に、合成の下で閉じられるブール関数のセットの完全な包含図です。たとえば、単調関数、GF（2）上の線形関数、およびすべての関数です。（Postは、定数0と1が無料で利用可能であると想定していなかったため、そうでない場合よりも格子がはるかに複雑になりました。）

私の質問は、トフォリ門やフレドキン門など、古典的なリバーシブル門に類似したものがこれまでに公開されているかどうかです。つまり、{0,1} ⁿの可逆変換のクラスは、可逆ゲートのコレクションによって生成できますか？あなたが0にancillaビットの数は無制限、いくつかのプリセットを許可されている他は、1に予め設定：ここでのルールがある限り、すべてのancillaビットが{0,1}のあなたの転換後と初期設定に戻されて^n個です終わった。 また、2ビットのSWAP（つまり、インデックスの再ラベル付け）は常に無料で利用できます。これらのルールの下で、私の学生であるルークシェーファーと私は、次の10セットの変換を特定することができました。

空のセット
NOTゲートによって生成されたセット
NOTNOTによって生成されたセット（つまり、2つのビットにNOTゲートが適用されます）
CNOTによって生成されたセット（つまり、Controlled-NOTゲート）
CNOTNOTによって生成されたセット（つまり、1番目のビットが1の場合、2番目と3番目のビットを反転します）
CNOTNOTおよびNOTによって生成されたセット
Fredkin（つまり、Controlled-SWAP）ゲートによって生成されたセット
FredkinおよびCNOTNOTによって生成されたセット
Fredkin、CNOTNOT、およびNOTによって生成されたセット
すべての変換のセット

残っている家族を特定し、分類が完了したことを証明したいのですが、それに時間を割く前に、以前に誰かがそれを行ったかどうかを知りたいと思います。

circuit-families

— スコットアーロンソン
ソース

NOTCSWAPと（CSWAP、NOTCSWAP）がありません。NOTCSWAPは制御スワップに似ていますが、c引数が0のときにx、y引数を交換します（CSWAPのようにcが1の場合は交換しません）。すべてのハミング重み保存順列を取得するには、これらの両方が必要です。CSWAPはハミング重み≥2のベクトルのみを並べ替え、NOTCSWAPはハミング重み≤n-2のベクトルのみを並べ替えます。

— デビッドエップシュタイン14

また、（以前のコメントでスペースが足りませんでした）制御ビットの数をゼロまたは非ゼロにする必要があるため、ハミング重みを保持する順列のさらに限定されたサブセットを取得でき、ハミング重みを持つベクトルを少なくともまたは最大で任意に置換できますバウンド。そのため、これは非常に多くのクラスの変換を提供します。

— デビッドエップシュタイン14

おかげで、デビッド-しかし、私は0と1のancillasが無料で、そのような「倒錯」を除外するために正確に利用可能であると仮定しました。そうしませんか？

— スコットアーロンソン14

レッツ

C_{n}

$C_n$ ハミング重み剰余保存すべての順列のクラスである

n

$n$ 。そして、

C_{n}

$C_n$ を満たす要件、および

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$ IFF

m | n

$m|n$ ：のnoninclusions

C_{n}

$C_n$ の他の場所にすることによって目撃された

n

$n$ 進関数

f_{n}

$f_n$ ST

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$ 、

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$ 、及び

f (x) = x

$f(x)=x$ のための

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$ 。特に、これらの無限に多くのクラスはすべて別個のものです。

— エミルイェジャベクはモニカをサポートします

eccc.hpi-web.de/report/2015/066の論文をご覧ください。これらのアイデアは洗練されており、以下のEmilの回答も参照しています。

— アンドラスサラモン

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ これは、二重性の半分のプレゼンテーションです標準的なクローンとクローンの双対性に類似した可逆変換（ここなど）。質問には答えませんが、そのような関数のすべての閉じたクラスは、特定のフォームのプロパティの保存によって決定されることを示しています。

標準の場合とは対照的に、主な複雑さは順列がカウントできることです（カーディナリティを保持します）。したがって、不変式はこれを説明するために少しの算術演算を必要とします。

暫定的な用語から始めましょう。有限ベースセット修正します。（古典的な場合、スコットはについて尋ねます。議論の一部は無限のも機能しますが、主要な特性評価には機能しません。） $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

順列（または可逆変換）のセットは、サブセットで、は順列のグループを示します。順列クローンは、順列のセットです、このような $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

各は、合成中に閉じられます。 $\cC\cap\sym(A^n)$

いずれかのための、順列によって定義されるは。 $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

もし及び、順列で定義されるのはです。 $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

以来、有限であり、1つの手段のサブグループである。OPは転置 2のみを要求しますが、ここのバージョンは明らかに同等です。条件3は、上記のコメントでダミー変数の導入と呼んだものと同等です。 $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

マスタークローンは ancillasの余裕を持っ順列クローンであります：

ましょう、、および、その結果であるすべての。次に、意味し。 $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

順列クローンとマスタークローンを特定の不変式で特徴付けることを目的としています。最初にいくつかの例を挙げて後者の動機付けをしましょう。 $A=\{0,1\}$

ハミングの重みを保持する順列のマスタークローン（フレドキンゲートによって生成）。がにを含めることを示す場合、これらの順列は、プロパティによって特徴付けられます。ここで、およびと記述します。 $w$ $\{0,1\}$ $\N$
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
コメントで言及されたハミング重みを固定した維持する順列のマスタークローン。をから巡回群への関数として解釈し、そこで合計を計算する場合、上記と同じ式で特徴付けられます。 $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
アフィン順列のマスタークローン、、（CNOTで生成）。1つの出力関数が関係保持している場合、アフィンであることを簡単に確認します（またはPostケースから知っています）。。したがって、を定義すると場合、はクローンにありますだから私たちはモノイドで和を扱っています $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$ 。

一般に、重み関数はマッピングです。ここで、およびは可換モノイドです。マスタ重み関数は、すべての対角マップ一つであるタプル、の可逆要素に、。してみましょう、すべての重み関数のクラスを示し、マスター重み関数を。 $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

もし、および重み関数であり、我々は、と言うあるの不変こと（無思慮用語を借り）、又はあるの多型、書き込み以下の条件がすべて当てはまる場合、： $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

場合、その後、 $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

ここで、、、およびについても同様です。換言すれば、場合（またはむしろへの平行拡張）の和保持引数の-weightsを。 $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

関係間および（または）順列のセット間のガロア接続誘発、及び重み関数のクラス：、通常の方法で、したがって、それぞれ、置換の閉じたセットの完全なラティスと（マスター）重み関数の閉じたクラス間の二重同型です。正しい軌道に乗っていることを確認するために、順列の閉じたセットが実際にクローンであることを観察します。 $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

補題：もし、その後、順列クローンです。もし、その後、、マスタークローンです。 $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

証拠：最初の主張は多かれ少なかれ明白です。2番目の場合、、を条件4のようにして、とし、を定義のようにします。置く、、及び。次いで、意味しかし、で可逆であるとしてマスタ重み関数であり、したがって、 $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

さらに先に進む前に、1つの問題を修正する必要があります。モノイドは巨大になる可能性があるため、この形式の不変式は無意味な抽象的なナンセンスであると正しく疑われる可能性があります。

まず、重み関数与えられた場合、はによって（およびマスターケースの対角要素の画像の加法逆数によって生成されると仮定できます。は写真を入力しないでください。特に、は有限生成されます。第二は、普遍代数の一般的な結果により、我々は書くことができる subdirect製品として各 subdirectly既約であり、の商であるを介して番目の製品投影 $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$ ; 特に、有限生成された可換モノイドです。Mal'cevの結果により、fgは部分的に既約の可換モノイド（または半群）は実際には有限です。マッピングは再び重み関数であり、がマスターであれば、したがって、一般性を失うことなく、重み関数に注意を制限することができます。ここで、は有限であり、準直接既約です。ましょう、このような重み関数のクラスであり、そして置く

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$ 有限の直接還元不可能な可換モノイドの例は、巡回群および切り捨てられた加算モノイドです。一般的なケースはより複雑ですが、それでも構造について多くのことを言うことができます。それぞれを特定の方法で互いに素な結合として記述し、いくつかのプロパティを持つ有限nilsemigroupとして記述できます。詳細については、グリルをご覧ください。

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

これで、この投稿の要点の準備ができました。

定理：有限の亜直接既約（マスター）重み関数へのガロア接続における置換の閉じたセットは、まさに置換クローン（マスタークローン、それぞれ）です。

すなわち、もし、次いでによって生成された順列クローンある、によって生成されたマスタークローンある。 $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

証明：前述の説明を考慮すると、が置換クローンであり、場合、不変が存在することを示すだけで十分です。のように、及び1が取ることができるあれば、マスター重み関数であることをマスタークローンです。 $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

置き、を（つまり、アルファベット上の有限語）によって生成されたフリーモノイドとします。我々は、関係定義上のすることにより（不等長さの単語がによって関連付けされることはありません。）各ので基であり、、実際には、長さの単語に対する制限（同値関係であり、のちょうど軌道同値関係である作用明らかな方法で $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$ ）。さらに、はモノイド合同です：およびがと、それぞれ、次に証人。

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

したがって、商モノイドを形成できます。スワップ順列は、各についてをします。つまり、通勤のジェネレータであるため、は可換です。重みマップを、商マップで構成された自然な包含として定義します。 $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

を見るのは簡単です：実際、で、次にはの定義によって（定義と同じ表記法を使用）。一方、と仮定します。ましょうの列挙である、、およびletためのは定義と同じです。それから $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ したがって定義により、存在ようにそれぞれについて、。ただし、使い果たすため、これは、つまり意味し、矛盾を意味します。これで、順列クローンの証明が完了しました。

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

がマスタークローンである場合でも、はマスターウェイト関数である必要はありません。実際、対角要素はで必ずしも打ち消すことさえできないため、修正する必要があります。それぞれについて、、聞かせておよび新しい同値関係定義上のによって要素が法としてするという事実を使用すると、が再び合同であることを示すのは簡単です。したがって、モノイドを形成できます。 $\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ 、及び重み関数。は拡張するため、は可換であり、商です。特に、。一方、場合、上記と同じ引数との定義はおよびを与えようにすべてに対して、従ってとしてはマスタークローンであり、矛盾です。

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

の定義は、すべてのおよびを含むことを保証します。したがって、要素はキャンセル可能です。あらゆる可換モノイドを、すべての打ち消し要素が反転可能になる別のモノイドに埋め込むことができることは、簡単によく知られた事実です。を使用したこのような埋め込みの構成は、マスターウェイト関数であり、、したがって。QED $\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

編集：上記のクローンとクローンの双対性の一般化は、

[1] E.イェジャベク、複数出力操作のガロア接続、プレプリント、2016、arXiv：1612.04353 [math.LO]。

— EmilJeřábekがモニカをサポート
ソース

これを書くのにかかった努力に感謝します！クローンと普遍代数の言語は私にとって非常に抽象的なので、それを消化するのに時間がかかります（実際、過去にこの文献を読み込もうとしたときにつまずいたブロックでした）。しかし、クローンを具体的に考え出すと、実際に知っているすべての例がそうであるように、それらはすべて不変式によって特徴付けられることを知っておくと便利です。（ちなみに、たとえば、Fredkin + NOTを不変式として特徴付けるために、入力のペアを見て、すべての変換がパリティの合計を保持すると言うと思いますか？）

— Scott Aaronson 14

一方、私は具体的な質問について報告するための進展があります。フレドキンゲート上の格子内のすべてのポイントを分類できました。唯一の可能性は、任意のkに対してハミング重みmod kを保持する変換、ハミング重みmod 2（Fredkin +によって生成されるNOT）、およびすべての変換。また、CNOTNOTの上のラティス内のすべてのポイントを特徴付けることができます：それらは、OPにリストしたもののみです（CNOTNOT + NOT、CNOT、Fredkin + NOTNOT、Fredkin + NOT、すべて）。

— スコットアーロンソン14

はい、Fredkin + NOTの場合、、ます。更新をありがとう、これは非常にいいですね。

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします14

もちろん、不変式は実際には証明から外れるものよりもはるかに小さいことが望まれます。（Postの場合、起こりうる最悪の事態はであると信じています。）Galois接続は具体的な分類を直接支援するものではなく、より方法論的なツールです。まず、どのような種類のプロパティを探すべきかを知っていれば、以前に識別されていなかったクラスを見つけやすくなります。次に、Postの分類の証明における典型的な手順は次のようになります。ラティスの真ん中のどこかでクラス到達し、その上のクラスを記述したいと思います。...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— EmilJeřábekは、モニカをサポートし

...は、その不変関係によって決定されます。次に、適切な拡張には、一部の保存しないが含まれている必要があり、通常は少数の変数で特定の関数に合成などによってを操作できます。このように、一方がリスト取得厳密上記すべてのクラスように、によって生成されたクラス含まいくつかのために、もう1つはその上に格子の部分に進むことができ。これは一般的な対応を必要としませんが、遭遇する特定のクラスの不変量を知っています。

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします14