2つの独立したランダム変数、正規およびカイ二乗の積のpdf
XとYが独立している場合、2つの独立したランダム変数XとYの積のpdfは何ですか？Xは正規分布、Yはカイ二乗分布です。 Z = XY 場合正規分布を有する およびは、自由度が カイ二乗分布 ここで、は単位ステップ関数です。XXXX∼N(μx,σ2x)X∼N(μx,σx2)X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2) fX(x)=1σx2π−−√e−12(x−μxσx)2fX(x)=1σx2πe−12(x−μxσx)2f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}YYYkkkY∼χ2kY∼χk2Y\sim \chi_k^2 fY(y)=y(k/2)−1e−y/22k/2Γ(k2)u(y)fY(y)=y(k/2)−1e−y/22k/2Γ(k2)u(y)f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)u(y)u(y)u(y) とが独立している場合、のpdfはどうなりますか？ZZZXXXYYY 解決策を見つけるための一つの方法は、場合Rohatgiのよく知られた結果（1976、141頁）を使用することである連続的なRVののジョイントPDFである及びのPDF、である fXY(x,y)fXY(x,y)f_{XY}(x,y)XXXYYYZZZfZ(z)=∫∞−∞1|y|fXY(zy,y)dyfZ(z)=∫−∞∞1|y|fXY(zy,y)dyf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy} なぜなら、とは独立している 積分を解く問題に直面する場所。誰でもこの問題で私を助けることができます。XXXYYYfXY(x,y)=fX(x)fY(y)fXY(x,y)=fX(x)fY(y)f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) fZ(z)=∫∞−∞1|y|fX(zy)fY(y)dyfZ(z)=∫−∞∞1|y|fX(zy)fY(y)dyf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy} fZ(z)=1σx2π−−√12k/2Γ(k2)∫∞01|y|e−12(zy−μxσx)2y(k/2)−1e−y/2dyfZ(z)=1σx2π12k/2Γ(k2)∫0∞1|y|e−12(zy−μxσx)2y(k/2)−1e−y/2dyf_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy} ∫∞01|y|e−12(zy−μxσx)2y(k/2)−1e−y/2dy∫0∞1|y|e−12(zy−μxσx)2y(k/2)−1e−y/2dy\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy} これを解決する代替方法はありますか？