歪度がゼロで過剰な尖度がゼロの非正規分布？

主に理論的な質問。最初の4モーメントが正規分布と等しい非正規分布の例はありますか？それらは理論的に存在するのでしょうか？

はい、歪度と過剰尖度の両方がゼロの例は、比較的簡単に構築できます。（実際の例（a）から（d）には、ピアソンの平均中央値歪度0もあります）

（a）たとえば、この答えでは、ガンマ変量（私は$X$と呼びます）と、次のような密度を持つ2番目の負の否定の50対50の混合を取ることで例が与えられます：

明らかに結果は対称的であり、正常ではありません。ここではスケールパラメーターは重要ではないため、1にすることができます。ガンマの形状パラメーターを慎重に選択すると、必要な尖度が得られます。

1. $Y$$\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$

2. $Y$$E(X^4)$$\alpha$$\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

$\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$$3$$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$

$U_1\sim U(-1,1)$$U_2\sim U(-a,a)$$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$$M$$E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$

$E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

を選択し場合$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$$i=1,2$

$Y$$\sqrt{X_1}$$-\sqrt{X_2}$

$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

対称性（および絶対3次モーメントが存在するという事実）により、skew = 0

$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

場合$\lambda=\frac12$

（d）これまでの私の例はすべて対称的でした。対称的な答えを作成する方が簡単だからです-しかし、非対称的な解決策も可能です。個別の例を示します。

ご覧のとおり、これらの例はどれも特に「正常」に見えません。同じプロパティを持つ任意の数の離散変数、連続変数、または混合変数を作成するのは簡単なことです。私の例のほとんどは混合物として構築されましたが、混合物について特別なものはありません。それは、レゴで物を作るのと同じように、プロパティを持つ分布を望むように作る便利な方法であることが多いからです。

この回答は、尖度に関する追加の詳細を提供し、他の例を構築する際に考慮すべき考慮事項のいくつかを少し明確にする必要があります。

同様の方法でより多くの瞬間を一致させることができますが、そうするためにはより多くの努力が必要です。ただし、正規のMGFが存在するため、正規のすべての整数モーメントを非正規分布と一致させることはできません。これは、MGFが一致することを意味し、2番目の分布も正規であることを意味します。

Glen_bが良い点を挙げています。ミルの追加グリストとして、Dirac Delta関数の考慮のみを追加します。ウィキペディアが指摘しているように、「DDFは、ゼロを除くどこでもゼロである実数線上の一般化された関数、または分布であり、実線全体で1の積分です」とDDFのすべてのより高いモーメントがゼロ。

ポール・ディラックは、1931年の著書「量子力学の原理」で量子力学に適用していますが、その起源はフーリエ、レスベーグ、コーシーなどに遡ります。DDFには、たとえば野球を打つコウモリのひび割れの分布をモデル化する際の物理的類似物もあります。