中心極限定理と多数の法則

中央極限定理（CLT）に関する初心者の質問があります。

私は、CLTがiid確率変数の平均がほぼ正規分布している（場合、は加数のインデックスである）か、標準化されたランダム変数は標準正規分布を持つと述べています。 $n \to \infty$ $n$

今、大数の法則は、iidランダム変数の平均が（確率またはほぼ確実に）期待値に収束すると言っています。

私が理解していないことは、CLTが述べているように、平均がほぼ正規分布している場合、同時にどのようにして期待値に収束することができますか？

収束は、時間とともに平均が期待値ではない値を取る確率がほぼゼロであることを意味します。したがって、分布は実際には正規ではなく、期待値以外のどこでもほぼゼロになります。

どんな説明でも大歓迎です。

probability normal-distribution convergence central-limit-theorem law-of-large-numbers

— ペガ
ソース

答えの鍵は、質問の「標準化された」という言葉がどこにあるかにあります。

— whuber

申し訳ありませんが、理解できません。

— ペガ

ヒント：1つの定理は約

分散有し

、約他の

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

れる有する分散

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

。

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— ディリップサーワテ

中央極限定理は旅に関するものであり、多数の強い法則は目的地に関するものです。

— 2013

この図は、（青）、（赤）、および（金）の独立した同一分布（iid）の正規分布（単位分散と平均）の平均の分布を示しています。 $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

3つの重複するPDF

$n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

$0$ $\mu$ が個別に異なっていても、ていることを示しています。

$n$ $n$

— ヒューバー
ソース

@whuber非常に良い答えです。私は、多数の弱法則によって私たちが理解していることについてのいくつかの説明に感謝します。

— サブハッシュC.ダバール

@subhash en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_lawを参照してください。

— whuber