XとYが独立している場合、2つの独立したランダム変数XとYの積のpdfは何ですか？Xは正規分布、Yはカイ二乗分布です。

Z = XY

場合正規分布を有する およびは、自由度が カイ二乗分布 ここで、は単位ステップ関数です。$X$

$$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$$ $$f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}$$ $Y$$k$ $$Y\sim \chi_k^2$$ $$f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)$$ $u(y)$

とが独立している場合、のpdfはどうなりますか？$Z$$X$$Y$

解決策を見つけるための一つの方法は、場合Rohatgiのよく知られた結果（1976、141頁）を使用することである連続的なRVののジョイントPDFである及びのPDF、である $f_{XY}(x,y)$$X$$Y$$Z$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy}$$

なぜなら、とは独立している 積分を解く問題に直面する場所。誰でもこの問題で私を助けることができます。$X$$Y$$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy}$$ $$f_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$$ $\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

これを解決する代替方法はありますか？

積分の項を単純化する

$T=e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} y^{k/2-2}$

多項式検索ように$p(y)$

$[p(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)}]'=p'(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} = T$

次のようなを見つけることになります$p(y)$

$p'(y) + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' = y^{k/2-2}$

または

$p'(y) -\frac{1}{2} p(y) (\frac{z \mu_x }{\sigma_x^2} y^{-2} \frac{z^2}{\sigma_x^2} y^{-3} -1)= y^{k/2-2}$

すべてのべき乗を別々に評価して行うことができます$y$

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上記のソリューションは、発散するため機能しません。

しかし、他の何人かはこのタイプの製品に取り組んできました。

Fourrier変換の使用：

Schoenecker、Steven、Tod Luginbuhl。「2つのガウス確率変数の積とガウスおよびガンマ確率変数の積の特性関数。」IEEE信号処理レター23.5（2016）：644-647。 http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

およびの積に対して、特性関数を取得しました。$Z=XY$$X \sim \mathcal{N}(0,1)$$Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$

$\varphi_{Z} = \frac{1}{\beta^\alpha }\vert t \vert^{-\alpha} exp \left( \frac{1}{4\beta^2t^2} \right) D_{-\alpha} \left( \frac{1}{\beta \vert t \vert } \right)$

ウィテカーの機能（http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm）$D_\alpha$

Mellin変換の使用：

スプリンガーとトムソンは、ベータ、ガンマ、およびガウスの分布確率変数の積の評価をより一般的に説明しています。

スプリンガー、MD、WEトンプソン。「ベータ、ガンマ、ガウス確率変数の積の分布。」SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4（1970）：721-737。 http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

Mellin積分変換を使用します。メリンは、変換のメリン変換の積である及び（参照http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065又はhttps://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201を）。研究された製品の場合、この製品の逆変換は、計算方法を提供および証明するメイジャーG関数として表現できます。$Z$$X$$Y$

同じ手法を使用できる可能性はありますが、ガウス分布変数とガンマ分布変数の積は分析しませんでした。すぐにこれを行おうとすると、H関数（https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function）を取得することが可能になるはずです。ただし、G-機能するか、他の単純化を行います。

$M\lbrace f_Y(x) \vert s \rbrace = 2^{s-1} \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

そして

$M\lbrace f_X(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{(s-1)/2} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2)$

あなたが得る

$M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{\frac{3}{2}(s-1)} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2) \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

の分布は次のとおりです。$Z$

$f_Z(y) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} y^{-s} M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace ds$

少なくともH関数として項を削除するために変数を変更した後）$2^{\frac{3}{2}(s-1)}$

残っているのは、この逆メリン変換をG関数として表現するパズルです。と両方出現はこれを複雑にします。ガウス分布変数のみの積の別のケースでは、変数代入することにより、をに変換できます。しかし、カイ二乗分布の条件のために、これはもう機能しません。たぶんこれが、このケースの解決策を誰も提供していない理由です。$s$$s/2$$s/2$$s$$x=w^2$