正規分布の尖度が0ではなく3である理由

正規分布の尖度が3であるというステートメントの意味は何ですか。つまり、水平線では、3の値がピーク確率に対応することを意味します。つまり、3はシステムのモードです。

正常な曲線を見ると、ピークは中心、つまり0で発生しているように見えます。

normal-distribution moments kurtosis

— ビクター
ソース

@Glen_bを書き込むように、 "尖度"係数は、第四の標準化された瞬間として定義されている：

はその結果、正規分布のために、発生し

に

。過剰尖度通常で表される

ある

。作者は「尖度」を書くこともあり、「過剰尖度」を意味するため、注意が必要です。

β_{2} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{(E [(X - μ)^{2}])^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

${\beta_2=}\frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2} {=} \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

μ_{4} = 3 σ^{4}

$\mu_4 = 3\sigma^4$

β_{2} = 3

$\beta_2= 3$

γ_{2}

$\gamma_2$

γ_{2} = β_{2} (Normal) - 3

$\gamma_2 = \beta_2(\text{Normal}) -3$

— アレコスパパドプロ14

再：私の前のコメント。過剰尖度係数の正しい表現である

γ_{2} = β_{2} - β_{2} (Normal) = β_{2} - 3

$\gamma_2 = \beta_2 - \beta_2(\text{Normal}) = \beta_2 - 3$

— Alecos Papadopoulosの

尖度は確かにピークがある場所ではありません。あなたが言うように、それはすでにモードと呼ばれています。

尖度は標準化第四瞬間です：もしは、私たちが見ている変数の標準化されたバージョンであり、人口尖度はその標準化された変数の平均4乗です。。サンプル尖度は、サンプル値の標準化されたセットの平均4乗に対応します（場合によっては、大きなサンプルで1になる係数でスケーリングされます）。 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ $E(Z^4)$

お気づきのように、標準化されたこの4番目のモーメントは、通常のランダム変数の場合は3です。アレコスがコメントで指摘しているように、尖度を定義する人もいます。これは過剰な尖度と呼ばれることもあります（4番目のキュムラントでもあります）。「尖度」という単語を見るとき、異なる人々が同じ単語を使用して2つの異なる（しかし密接に関連する）量を参照する可能性に留意する必要があります。 $E(Z^4)-3$

尖度は、通常、尖度*（たとえば、尖度がどれほど鋭く曲がっている-おそらく「尖度」という言葉を選択する意図だった）または重尾（通常、人々がそれを使用して測定することに興味を持っているもの）として記述されますが、実際、通常の4番目の標準化された時点では、これらのいずれも測定されません。

実際、KendallとStuartの最初の巻は、より高い尖度が、より高いピーク（標準化された変数）またはより太い尾（3番目の瞬間が多くの人々を全く測定しないというかなり似た方法で）と必ずしも関連付けられないことを示す反例を与えますそうだと思う）。

しかし、多くの状況では、両方に関連する傾向があります。尖度が高くなると、より大きなピークと重い尾がしばしば見られる傾向があるため、単にそうであると考えることに注意してください。

尖度と歪度は強く関連しています（尖度は歪度の2乗より少なくとも1大きくなければなりません。分布がほぼ対称である場合、尖度の解釈はやや簡単です。

ここに画像の説明を入力してください

Darlington（1970）およびMoors（1986）は、尖度の4番目のモーメント測定値が実質的に「肩」について変動することを示し、BalandaおよびMacGillivray（1988）はその意味に関連する漠然とした用語で考えることを提案しています（他の測定方法を検討してください）。分布が密に集中している場合、尖度は（必然的に）小さくなりますが、分布がから離れて広がっている場合（同時に中央に積み上げられ、確率を肩から遠ざけるため）、第4モーメント尖度が大きくなります。 $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$

De Carlo（1997）は、尖度について読むための合理的な出発点です（Wikipediaなどのより基本的なリソースの後）。

$E(Z^4)$ $E(Z^2)$ $(-1,1)$ ）; 逆も同様です-分散を1に保ちながら中央により多くの重みを置くと、テールにもいくらかの重みを付けます。

[注：コメントで説明したように、これは一般的な記述としては正しくありません。ここでは多少異なるステートメントが必要です。]

分散が一定に保たれるこの効果は、ダーリントンとムーアの論文での「肩に関する変動」としての尖度の議論に直接関連しています。その結果は、いくつかの手波の概念ではなく、単純な数学的な同等性です-尖度を誤って表明しない限り、それを他の方法で保持することはできません。

$(-1,1)$ $(-1,1)$

[参考文献にケンドールとスチュアートを含めるのは、尖度の議論もこの点に関連しているためです。]

それで、私たちは何を言うことができますか？尖度は、多くの場合、より高いピークとより重い尾部に関連付けられ、どちらも発生する必要はありません。確かに、尾で遊んで（1 sd以上離れることができるため）尖度を解除するのは簡単です。分散を一定に保つために中心を調整しますが、それはピークが影響を与えないという意味ではありません。確かにそうであり、代わりにそれに集中することで尖度を操作できます。尖度は、主に尾の重さに関連しているだけでなく、主に肩の結果に関するばらつきに注目してください。避けられない数学的な意味で、尖度が見ているものがあれば。

参照資料

Balanda、KPおよびMacGillivray、HL（1988）、
「尖度：重要なレビュー。」
アメリカの統計学者 42、111-119。

ダーリントン、リチャード・B（1970）、
「尖度は本当に「ピーク」ですか？」
アメリカの統計学者 24、19-22。

ムーアズ、JJA（1986）、
「尖度の意味：ダーリントンが再検討されました。」
アメリカの統計学者 40、283-284。

DeCarlo、LT（1997）、
「尖度の意味と使用について」。
サイコ。方法、2、292から307まで。

ケンドール、MG、およびA.スチュアート、
統計の高度な理論、
Vol。1、第3版
（最近のエディションにはスチュアートとオードがあります）

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

0

$0$

3

$3$

尖度に関するWestfallの記事、尖度としての尖度、1905-2014 RIPは検討する価値があります。：それはここに尖り対策リンクとして尖度の知識を広めるために（でも、上に挙げた他の中）DeCarloを批判ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753

— Lil'Lobster

@Lil私はWestfallが彼の主張を誇張していると思う。（ほぼ）完全に重い尻尾に焦点を当てることにより、彼は厳密に間違っています。尖度は重い尾にかなり強く関連付けられていますが、尖度は明らかに尾が重いわけではありません（上記の参考文献のいくつかで説明されているように、より重い尾が低い尖度を伴う反例を見つけるのは簡単です;それらも簡単に作成できます）。尖度と尖度との関連性は低くなりますが、まだ関連性があります。ピークではないと主張することで、彼は批判をやりすぎている（同様の批判が彼自身の結論に当てはまる）。... ctd

— Glen_b -Reinstate Monica

Glen_b、あなたと私は数学が大好きです。「私の主張を過大評価している」と私を批判するつもりなら、ピアソンの尖度を「ピーク」と結びつける数学的な議論を教えてください。

— ピーターウェストフォール

Gelen_b、あなたのコメント「これは、テールへの確率の移動には、さらに内部ミュー+-シグマ、およびその逆が伴う必要があることを意味します。尻尾で」は偽です。してはいけません。mu +-シグマ内の確率（実際には分布全体）を一定に保ち、分布の特定のパラメトリックファミリー内で尖度を無限に増加させることができます。ここを参照してください：math.stackexchange.com/questions/167656/...

— ピーター・ウェストフォール

以下は、正規分布の尖度に関して数値「3」が何を指すかを理解するための直接的な視覚化です。

$X$ $Z = (X-\mu)/\sigma$ $V = Z^4$ $V$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$ $X$ $p_V(v)$ $X$

$p_V(v)$

この観点から、尖度の本質的に正しい「尾重量」の解釈は、「尾重量の増加」と「尾部の質量の増加」を混同しないように、「尾のてこ比」としてより具体的に特徴付けられます。結局、尖度が高くなると尾の質量が少なくなる可能性がありますが、この質量の減少はより遠い位置を占めます。

「立つ場所をください。地球を動かします。」-アルキメデス

— ピーター・ウェストフォール
ソース