多変量標準正規分布とガウスコピュラの違い

多変量標準正規分布とガウスコピュラの違いは、密度関数を見ると同じように見えるので、どのような違いがあるのでしょうか。

私の問題は、ガウスコピュラが導入される理由、ガウスコピュラが生成する利点、またはガウスコピュラが多変量標準正規関数そのものにすぎない場合のその優位性です。

また、コピュラの確率積分変換の背後にある概念は何ですか？コピュラは一様変数を持つ関数であることを知っています。なぜ均一でなければならないのですか？多変量正規分布のような実際のデータを使用して、相関行列を見つけてみませんか？（通常、2つの資産のリターンをプロットしてそれらの関係を検討しますが、コピュラの場合は、代わりに確率であるUsをプロットします。）

別の質問。また、MVNからの相関行列が、コピュラのようにノンパラメトリックまたはセミパラメトリックになる可能性があるかどうかも疑います（コピュラのパラメータはケンドールのタウなどになります）

私はこの分野で初めてなので、あなたの助けにとても感謝しています。（しかし、私は多くの論文を読んでおり、これらは私が理解していない唯一のものです）

テクニカルペーパー（特にWebで見つかったもの）に関する一般的なルールは、それらで提供される統計的または数学的な定義の信頼性は、論文のタイトルで言及されている無関係な非統計的主題の数に反比例して変化することです。 最初の参考文献（質問へのコメント）のページタイトルは、「金融から宇宙へ：大規模構造のコピュラ」です。「金融」と「宇宙論」の両方が目立つように表示されているため、これがコピュラに関する良い情報源ではないことを確信できます。

代わりに、標準で非常にアクセスしやすい教科書、Roger NelsenのAn copulas入門（第2版、2006年）に目を向けてみましょう。

$[0,1]]$

[p。23、下。]

コピュラに関するいくつかの洞察については、本の最初の定理、スカラーの定理に目を向けてください。

$H$$F$$G$$C$$x,y$

$$H(x,y) = C(F(x),G(y)).$$

[18ページおよび21ページに記載。]

Nelsenはそのように呼んではいませんが、例ではガウスコピュラを定義しています。

$\Phi$$N_\rho$$\rho$

$$C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$$

[p。23、式2.3.6]。表記から、このはが2変量正規である場合実際にの共同分布である ことがすぐにわかります。現在、振り向くとすることができる新たな二変量分布構築、任意の所望の（連続）周辺分布を有する及びこのれるコピュラであるが、単にこれらの出現置き換えることによってすることによりおよび：取るこの特定の特徴付けに上記のコピュラの。（U 、V ）（Φ - 1（U ）、Φ - 1（V ））F G C Φ F G $C$$(u,v)$$(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$$F$$G$$C$$\Phi$$F$$G$$C$

著しく変量正規分布のための式のようなので、はい、このルックス、それがためで変換された変数の通常の二変量。これらの変換は、とがまだ（単変量）正規CDFでない場合は常に非線形であるため、結果の分布は（これらの場合）二変量正規分布ではありません。F $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$$F$$G$

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例

LET Betaの分布関数である変数及びガンマに対する分布関数変数。上記の構成を使用することにより、ガウスコピュラと周辺およびを含む結合分布を形成できます。この分布を表すために、軸と軸の2変量密度の部分プロットを以下に示します。$F$$(4,2)$$X$$G$$(2)$$Y$$H$$F$$G$$x$$y$

暗い領域の確率密度は低くなります。明るい領域の密度が最も高くなります。すべての確率は、（ベータ分布のサポート）および（ガンマ分布のサポート）の領域に絞り込まれています。$0\le x \le 1$$0 \le y$

対称性がないため、明らかに非正規（および通常のマージンなし）になりますが、それにもかかわらず、構造上ガウスコピュラがあります。FWIWには式があり、見苦しく、明らかに2変数正規ではありません：

$$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$$

ここで、は、$w(x,y)$

$$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$$

（は正規化されたガンマ関数であり、は正規化されたベータ関数です。）I $Q$$I_x$