標準偏差が無限大になると、正規分布は均一な分布に収束しますか？

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標準偏差が際限なく大きくなる場合、正規分布は特定の分布に収束しますか？PDF開始は、によって与えられた境界を持つ一様分布のように見えるように私には見える $[-2 \sigma, 2 \sigma]$ 。これは本当ですか？

normal-distribution convergence

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いいえ。ただし、あなたの質問に適切に答えるために、あなたの収束の定義を知る必要があります。正式な議論は、右側が変わらない場合にのみ可能であることに留意してください。[だから、あなたはUnifromへの収束を確立することはできません

- σ, σ

$-\sigma,\sigma$ あなたのために]

σ

$\sigma$ 変化しています。CLTの定式化を調べて、意味を確認してください

— -Aksakal

あなたがそれを何か

ラップまたは切り捨てた場合のみ

o (σ)

$o(\sigma)$ 。

— enthdegree

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すでにここにある他の回答は、分散が無限に増加してもガウスRVが何にも収束しない理由を説明する素晴らしい仕事をしますが、ガウスのそのようなコレクションが満たすかもしれない一見均一な特性を指摘したいと思います誰かが彼らが均一になっていると推測するのに十分であるが、それはそれを結論付けるほど十分に強くないことが判明する。 $\newcommand{\len}{\text{len}}$

確率変数の集合を考える。ましょ有限の長さの固定された間隔であり、そしていくつかのために定義、すなわちありが、わずかによりオーバーシフト。間隔、をの長さと定義し、注意してください。 $\{X_1,X_2,\dots\}$ $X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$ $A = [a_1,a_2]$ $c \in \mathbb R$ $B = A +c$ $B$ $A$ $c$ $I = [i_1,i_2]$ $\len (I) = i_2-i_1$ $I$ $\len(A) = \len(B)$

次の結果を証明します。

結果： as。 $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$ $n \to \infty$

の分布は、どれだけ離れていても同じ確率で同じ長さの2つの固定区間をますます増やしていると言うので、私はこれをユニフォームのように呼びます。これは間違いなく非常に均一な機能ですが、これからわかるように、実際の分布が均一なものに収束することについては何も言いません。 $X_n$ $X_n$

Pf：ここで、なので、という（非常に粗い）境界を使用して、を取得できます。 $X_n = n X_1$ $X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$

P (X_{n} \in A) = P (a_{1} \leq n X_{1} \leq a_{2}) = P (\frac{a_{1}}{n} \leq X_{1} \leq \frac{a_{2}}{n})

$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$

= \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{a_{1} / n}^{a_{2} / n} e^{- x^{2} / 2} d x .

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$

e^{- x^{2} / 2} \leq 1

$e^{-x^2/2} \leq 1$

\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{a_{1} / n}^{a_{2} / n} e^{- x^{2} / 2} d x \leq \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{a_{1} / n}^{a_{2} / n} 1 d x

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$

= \frac{len (A)}{n \sqrt{2 π}} .

$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$

に対して同じことを行って、を取得でき $B$

P (X_{n} \in B) \leq \frac{len (B)}{n \sqrt{2 π}} .

$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$

これらをまとめると、 as（ここでは三角形の不等式を使用しています）。

| P (X_{n} \in A) - P (X_{n} \in B) | \leq \frac{\sqrt{2} len (A)}{n \sqrt{π}} \to 0

$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$

n \to \infty

$n\to\infty$

$\square$

これは、均一な分布に収束するとはどう違いますか？同じ有限長の任意の2つの固定間隔に与えられる確率がますます近づいていくことを証明したばかりで、との観点から密度が「平坦化」しているので直感的に理にかなっています。 $X_n$ $A$ $B$

ただし、が均一な分布に収束するためには、間隔でに比例するようにが必要です。これは、事前に修正されただけでなく、すべてのに適用する必要があります（また、別のところで述べたように、これは無制限のサポートがあるディストリビューションでも不可能です）。 $X_n$ $P(X_n \in I)$ $\text{len}(I)$ $I$ $I$

— jld
ソース

右、あなたは可能性があり、ほとんど彼らがに収束何の制限が不適切な分布であることを除いて、分布に収束言います。明確に定義される収束のタイプの1つは、としてWassersteinメトリックがゼロに近づくことを示すことができると思いますか？

σ \to \infty

$\sigma \rightarrow \infty$

— クリフAB

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確率の一般的な間違いは、すべての値がゼロに近いときに視覚的にフラットに見えるため、分布が均一であると考えることです。これは、ありながら、つまり周りの小さな間隔が1000倍以上であることがわかるためです。周りの小さな間隔よりも可能性が高い。 $f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$ $f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$ $x$ $y$

には均一な分布がないため、制限内の実際の行全体では明らかに均一ではありません。また、ほぼ均一ではありません。 $(-\infty,\infty)$ $[-2\sigma,2\sigma]$

後者は、あなたがよく知っていると思われる68-95-99.7ルールから見ることができます。でほぼ均一だった場合、およびある確率は同じです。2つの間隔は同じです。長さ。ただし、、です。 $[-2\sigma,2\sigma]$ $[0,\sigma]$ $[\sigma,2\sigma]$ $P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$ $P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

実数線全体で見ると、この正規分布のシーケンスは確率分布に収束しません。これを確認する方法はいくつかあります。例として、標準偏差をもつ法線の累積分布関数はおよび全てに対しての累積分布関数ではない、任意のランダム変数。実際には、それは全くCDFはありません。 $\sigma$ $F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$ $\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$ $x$

この非収束の理由は、「質量損失」に要約されます。正規分布の制限関数は、実際には「失われた」確率を持っています（つまり、無限に逃げています）。これは、メジャーのタイトネスの概念に関連しており、ランダム変数のシーケンスが別のランダム変数に収束するために必要な条件を与えます。

— アレックス・R
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誤った「それ」は「すべての値がゼロに近い」でした。「よくある間違い」の「それ」は正しかった。

— 累積

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より広い標準偏差に一致するようにを調整すると、pdfが指定された境界を持つ均一分布のように見える $[−2σ,2σ]$ という記述は正しくありません。 $\sigma$

ゼロを中心とする2つの標準密度のこのチャートを考えてください。赤い曲線は標準偏差に対応し、青い曲線は標準偏差に対応します。実際、青い曲線はほぼ平坦です $1$ $10$ $[-2,2]$

しかし、の青い曲線の場合、実際にでその形状を見る必要があります。軸と軸の両方をスケーリングすると、次のプロットが得られます。この後のプロットの青の密度は、前のプロットの赤の密度とまったく同じ形状になります。 $\sigma=10$ $[-20,20]$ $x$ $y$ $10$

— ヘンリー
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あなたの質問には根本的な欠陥があります。標準正規分布ようにスケーリングされる。そのため、他のガウス分布（）の場合、境界間の曲線は標準正規分布と同じ形状になります。唯一の違いはスケーリング係数です。したがって、で割ってガウス分布を再スケーリングすると、標準正規分布になります。 $\sigma = 1$ $\mu = 0, \sigma = \sigma^*$ $[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$ $\sigma^*$

ガウス分布（）がある場合、としてはい、間の領域はより平坦になります。 $\mu = 0, \sigma = \sigma^*$ $\sigma^* \rightarrow \infty$ $[-2, 2]$

— MaxW
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